¿Cómo valorar una opción de venta europea utilizando el modelo binomial con la rentabilidad de los dividendos?

Question

El precio inicial de la acción (S0) es de 45, la volatilidad de la acción es de 0,20 (20% anual) y el tipo libre de riesgo es de 0,02 (2% anual). Considere una opción de venta europea cuyo precio de ejercicio es igual a 30, con un plazo de vencimiento de dos años. La rentabilidad de los dividendos es de 0,04 (4% anual)

¿Es correcto si dibujo un árbol binomial con el modelo ex-dividendo, pero añado 45 x 0,04 x e^(-0,02 x 2) al precio de la opción?

Answer 1

Dado que los dividendos y los tipos de interés vencen anualmente y el tiempo de vencimiento es de dos años, podemos modelar la opción como un árbol binomial de dos pasos, estructurado como el de la figura:

Datos de la pregunta OP:

$S_0 = 45$ precio actual del subyacente $S$ ; $\hspace{2.5cm}$ $\sigma = 0.2\;\text{per annum}$ volatilidad de $S$ ;

$r = 0.02\;\text{per annum}$ tipo de interés; $\hspace{3.5cm}$ $d = 0.04\;\text{per annum}$ dividendo de $S$ ;

$T = 2\ \text{years}$ fecha de vencimiento de la opción en $S$ ; $\hspace{2.7cm}$ $K = 30$ precio de ejercicio de la opción;

$P(T) = \max(K - S(T), 0)$ estamos tratando de fijar el precio de una opción de venta.

Esto se puede resolver de varias maneras. Vamos a proceder aquí con la valoración neutral al riesgo, que implica seguir los pasos siguientes:

1. calcular cuánto $S$ puede desplazarse hacia arriba o hacia abajo al pasar de un escalón a otro
2. calcular la probabilidad neutral de riesgo de un movimiento alcista, $p_{RN}$
3. evaluar $S$ en cada nodo $B, C, D, E, F$
4. obtener el valor de la opción $P(T)$ en los últimos nodos posibles $D, E, F$
5. calcular el valor actual de la opción, $P(0)$ como el valor esperado de $P(T) \sim \{P_D, P_E, P_F \}$

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1. $S$ puede mover una desviación estándar hacia arriba o hacia abajo, es decir $S_{i} - S_{i - 1} = \Delta S = \sigma \, S_{i - 1} \qquad i = 1,2$

2. La probabilidad neutral al riesgo $p_{RN}$ de un movimiento alcista se obtiene considerando que una inversión segura de la misma suma $S_0$ al tipo de interés $r$ produce $S_0 e^{rT}$ al vencimiento de la opción $T$ . Para excluir las oportunidades de arbitraje, $S$ tiene que crecer en promedio como la tasa segura (libre de riesgo). Sin embargo, los dividendos que arrojan las acciones mientras se mantienen en nuestra cartera hacen que debamos considerar una suma libre de riesgo menor de $S_0 e^{(r - d)T}$ para nuestro cálculo de la probabilidad neutra del riesgo: $$ p_{RN} S_{up} + \left(1 - p_{RN} \right) S_{down} = S_0 e^{(r - d)\frac{T}{2}} $$ donde la longitud del paso de tiempo es $\Delta t = T / 2$ . Así que $p_{RN}$ es: $$ p_{RN} = \frac{S_0 e^{(r-d)\frac{T}{2}} - S_{down}}{S_{up} - S_{down}} = \frac{\require{cancel}\cancel{S_0} e^{(r-d)\frac{T}{2}} - \cancel{S_0} (1 - \sigma)}{2 \sigma \cancel{S_0}} = 0.4505 $$

3. Para obtener los valores de $S$ en cada nodo, recorrerlo desde root $S_A = S_0$ sumar o restar $\Delta S$ (que asume valores diferentes para cada uno de los nodos): $$ \begin{aligned} S_A &= 45\\ S_B &= S_A - \Delta S = 36 \hspace{1.35cm} S_C = S_A + \Delta S = 54 \qquad\\ S_D &= S_B - \Delta S = 28.8 \qquad S_E = S_B + \Delta S = S_C - \Delta S = 43.2\\ S_F &= S_C + \Delta S = 64.8 \end{aligned} $$

4. Evalúe rápidamente los beneficios de la opción al vencimiento, $P_D, P_E, P_F$ : $$ \begin{align} P_D &= \max(K - S_D, 0) = 1.2\\ P_E &= \max(K - S_E, 0) = 0\\ P_F &= \max(K - S_F, 0) = 0 \end{align} $$

5. El valor esperado de $P(0)$ es el valor monetario actual (multiplicado por $e^{-(r - d) T}$ ) del valor esperado de la opción al vencimiento, $E[P(T)]$ : $$ P(0) = e^{-(r - d) T} E[P(T)] = e^{-(r - d) T} \left[ \left( 1 - p_{RN} \right)^2 P_D + 2 \cdot p_{RN} \left( 1 - p_{RN} \right) P_E + p_{RN}^2 P_F \right] = 1.0408 \left[ 0 + 0 + 0.302 \cdot 1.2 \right] = 0.3771 $$

Por lo tanto, la respuesta a la pregunta es $P(0) = 0.3771$ .