Función de costes de la función de producción CES

Question

¿Cómo puedo encontrar la función de coste $c(w,p)$ dado que la producción es

$$f(x)=(x_1^p + x_2^p)^{1/p} \ \ for\ \ 0<p <1$$

Intenté resolverlo y descubrí que $$TC(y) = \left\{ \begin{array}{ll} w_1y & \quad w_1 < w_2 \\ wy & \quad w_1=w_2 \\ w_2y & \quad w_2 <w_1 \end{array} \right.$$

¿Puede decirme si estoy en el camino correcto?

Answer 1

Si está interesado en el caso de que $\rho \geq 1$ a continuación, mira el puesto CES $\ \ \rho \geq 1$ . Para el caso estándar en el que $0 < \rho < 1$ debería obtener un resultado como el siguiente

$$C(w_1,w_2,y) = \left(w_1^{\frac{\rho}{\rho -1}} +w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}\right)^{\frac{\rho - 1}{\rho}} y.$$

Para ver esto hay que empezar por plantear el problema de minimización de costes

$$\min_{x_1,x_2} \ \ w_1x_1 + w_2x_2 \\[8pt] s.t. \ \ (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho} \geq y$$

para este problema la función lagrangiana es

$$\mathcal L(x_1,x_2,\lambda) = w_1x_1 + w_2x_2 - \lambda((x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho} -y).$$

A partir de las condiciones de primer orden de la lagrangiana se puede demostrar que la restricción es vinculante en el óptimo $(x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho} = y$ y obtener un MRS igual a los precios relativos

$$(1) \ \ \frac{w_1}{w_2} = \frac{x_1^{\rho - 1}}{x_2^{\rho - 1}},$$ Dada esta información, deberías ser capaz de resolver $x_1$ y $x_2$ en función de los parámetros del problema, que en este caso es $\rho,y,w_1,w_2$ .

Intenta conseguir $(x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$ para aparecer en el MRS igual a los precios relativos. Así que manipule (1) para obtener

$$w_1^{\frac{\rho}{\rho -1}}x_2^\rho = w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}x_1^\rho,$$ luego agrega $w_2^{\frac{\rho}{\rho-1}}x_2^\rho$ a ambos lados de la ecuación

$$w_1^{\frac{\rho}{\rho -1}}x_2^\rho +w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}x_2^\rho = w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}x_1^\rho + w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}x_2^\rho,$$

aislar los factores de ambos lados y exponer con el exponente $1/\rho$ para conseguir

$$\left(w_1^{\frac{\rho}{\rho -1}} +w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}\right)^{1/\rho}x_2 = w_2^{\frac{1}{\rho -1}}(x_2^\rho + x_1^\rho)^{1/\rho} = w_2^{\frac{1}{\rho -1}} y ,$$

a partir de aquí se puede resolver la demanda condicional $x_2^\star(w_1,w_2,y)$ . Sin embargo, es más fácil observar que el factor $\left(w_1^{\frac{\rho}{\rho -1}} +w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}\right)^{1/\rho}$ no cambian cuando se intercambian los índices - es simétrico. Por lo tanto, defina $a := \left(w_1^{\frac{\rho}{\rho -1}} +w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}\right)^{1/\rho}$ y concluir que

$$ax_1 = w_1^{\frac{1}{\rho -1}} y \\[8pt] ax_2 = w_2^{\frac{1}{\rho -1}} y,$$ multiplicar la primera ecuación por $w_1$ y el segundo con $w_2$ y los sumamos para obtener

$$a(w_1x_1 + w_2x_2) = (w_1^{\frac{\rho}{\rho -1}}+w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}})y = a^\rho y$$

resolver para $(w_1x_1 + w_2x_2)$ que son los costes para obtener el resultado que

$$C(w_1,w_2,y) = a^{\rho -1} y = \left(w_1^{\frac{\rho}{\rho -1}} +w_2^{\frac{\rho}{\rho -1}}\right)^{\frac{\rho - 1}{\rho}} y$$