Expectativa de $\int_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s$

Question

Estoy tratando de calcular la expectativa de

$$\int\limits_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s,$$

donde $(W_t)$ es un proceso Wiener.

Me han dicho que el valor de esta expectativa es cero. Puede alguien proporcionar alguna pista de por qué sería cero?

Answer 1

Por construcción, la integral de Itô, $I_t=\int_0^t X_s\text{d}W_s$ es una martingala si $\int_0^t \mathbb{E}[X_s^2]\text{d}s<\infty$ .

La propiedad de la martingala, $\mathbb{E}_s[I_t]=I_s$ implica $\mathbb{E}[I_t]=I_0=0$ .

Porque $W_s\overset{d}{=}\sqrt{s}Z$ , donde $Z\sim N(0,1)$ En efecto, tenemos $$\begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &= \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}\frac{1}{(1+sz^2)^2}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s \\ &\leq \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s\\ &=\int_0^t1\text{d}s \\ &=t<\infty. \end{align*}$$

@NHN sugiere utilizar el argumento anterior, $\frac{1}{(1+x^2)^2}\leq1$ para todos $x\in\mathbb{R}$ para obtener directamente $$\begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &\leq \int_0^t\mathbb{E}\left[1\right]=t<\infty. \end{align*}$$