Simulación de MonteCarlo de los precios de las acciones utilizando el esquema de milstein con el rendimiento de los dividendos?

Question

Al realizar una simulación montecarlo de los precios de las acciones utilizando el esquema de milstein, ¿es posible tener en cuenta la rentabilidad de los dividendos en la propia simulación de alguna manera, si se nos da una rentabilidad continua de los dividendos?

¿O es algo que hay que tener en cuenta a la hora de valorar varios derivados utilizando esas trayectorias simuladas?

Soy bastante nuevo en las finanzas cuantitativas, así que perdóname si esto resulta ser una pregunta estúpida.

Answer 1

Es sencillo incluir los dividendos en el modelo si se puede suponer que el pago de dividendos es un rendimiento de dividendos continuo, $q$ . En $Q$ medida, en el modelo Black-Scholes, el modelo Heston, etc, $r$ se sustituye por $r q$ Aquí, vamos a simular el activo subyacente en el modelo Black-Scholes por el método Milstein. En efecto, suponemos que el activo subyacente sigue el proceso Ito descrito por la siguiente ecuación diferencial estocástica $$dS_t=(r-q)S_t dt+\sigma\, S_tdW_t$$ Aplicando la discretización de Milstein a esta ecuación, tenemos $$S_{t+\Delta t} = S_t+(r-q)S_t \Delta t+\sigma\,S_t \sqrt{\Delta t}\,Z+\frac{1}{2}\sigma^2\Delta t(Z^2-1)$$ donde $Z$ se distribuye como normal estándar. A continuación, retenemos el último precio de la acción de cada trayectoria de precios de la acción y obtenemos el de la opción europea al vencimiento, tomamos la media de todas las trayectorias de precios de las acciones y descontamos al tiempo cero. Así, por ejemplo, la opción de compra $C(K)$ y $C(K,S_T,r,\sigma)$ es $$C(K,S_T,r,\sigma)=e^{-rt}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}max\{S_T^{(i)}-K, 0\}$$

Answer 2

La fórmula correcta: $$S_{t+\Delta t} = S_t+(r-q)S_t \Delta t+\sigma\,S_t \sqrt{\Delta t}\,Z+\frac{1}{2}\sigma^2\Delta t(Z^2-1)*S_t$$

Podemos extraer la fórmula de la ecuación del movimiento browniano (proceso de Wiener): $$dS_t = (r-q) S_t dt + \sigma S_t dW_t$$ donde $W_t$ es el proceso de Wienere.

Aplicando el lema de Itô (r, q y $\sigma$ son constantes) con $f(S_t) = \ln(S_t)$ da:

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$$df(S_t) = f^\prime(S_t)*dS_t + \frac{1}{2}f^{\prime\prime} (S_t) *(dS_t)^2 \\ $$ donde $(dS_t)^2$ es el variación cuadrática de la SDE: $(dS_t)^2 = \, \sigma^2 \, S_t^2 \, d W_t^2 + 2 \sigma S_t^2 (r-q) \, d W_t \, d t + (r-q)^2 S_t^2 \, d t^2$

Cuando $dt \to 0$ , $dt$ converge a 0 más rápido que $dW_t$ , ya que $dW_t^2 = O(dt)$ .

Así que el infinitesimal anterior se puede simplificar por: $(dS_t)^2 = \sigma^2 S_t^2 dt$

$df(S_t) = \frac{1}{S_t}\,dS_t + \frac{1}{2} (-S_t^{-2}) (S_t^2\sigma^2\,dt) = \frac{1}{S_t} \left( (r-q) S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \right) - \frac{1}{2}\sigma^2\,dt = \\ =\left (r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\ \right )\,dt + \sigma dW_t$

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$$d(ln S_t) = (r-q - \frac{1}{2}\sigma^2) dt + \sigma dW_t$$ $$S_{t+\Delta t} = S_t * e^{\int\limits_t^{t+\Delta t}{(r - q - \frac{1}{2}\sigma^2)}dt + \int\limits_t^{t+\Delta t}{\sigma dW_u}}$$ tomando integrales y descomponiendo el exponente en series de Maclaurin hasta el tercer término $$S_t * [1 + (r-q)\Delta t + \sigma \Delta W_t + \frac{1}{2}\sigma^2((\Delta W_t)^2 - \Delta t)]$$ donde $\Delta W_t = Z(0,1)*\sqrt{\Delta t}$ , donde $Z(0,1)$ es una variable aleatoria de distribución normal $$S_{t+\Delta t} = S_t+(r-q)S_t \Delta t+\sigma\,S_t Z \sqrt{\Delta t} + \frac{1}{2}\sigma^2(Z^2-1) \Delta t*S_t$$

p.d.: el usuario16891 olvidó multiplicar el último término por $S_t$

p.s.s.: utilizando la ecuación $S_{t+\Delta t} = S_t * e^{(r - q) \Delta t + \sigma Z \sqrt{\Delta t} + \frac{1}{2}\sigma^2 (Z^2-1) \Delta t}$ para la simulación de Monte-Carlo puede ser más rápido (en python).

p.s.s.: más teoría sobre $dW$ puedes encontrar ici (Notas del curso sobre SDE de la Universidad Estatal de Moscú, en ruso)