Ecuación de Black Scholes lineal o no lineal

Question

He estado repasando las soluciones analíticas de la ecuación de black scholes que la transforma en una ecuación de calor. $$u_{t}=\frac{1}{2}\sigma^{2}u_{xx}$$ Ahora bien, si la volatilidad es constante, entonces es la forma lineal. ¿Y si la volatilidad es variable, entonces es la forma no lineal? Por favor, dé la referencia también con la respuesta si es posible.

Answer 1

La clasificación lineal/no lineal se refiere a las variables dependientes y sus derivadas. Para verificar si la ecuación es lineal, debes comprobar que la ecuación es lineal en cada una de estas variables, y los coeficientes de éstas son funciones de las variables independientes (t y x en tu ejemplo).

En su ejemplo, las variables dependientes y su derivada son $u$ , $u_t$ y $u_{xx}$ . Como la ecuación es lineal en todos ellos, el coeficiente no depende de u ni de sus derivadas, y no hay términos cruzados (por ejemplo, $u \, u_x$ ), por lo que la ecuación es lineal. Los criterios que has enumerado -volatilidad constante frente a variable- ayudarán a diferenciar si la ecuación es constante-eficaz. Por otro lado, si la volatilidad depende de u o de sus derivadas, entonces eso la haría no lineal.