Concretamente quiero saber cómo modelar una condición de salto mientras se valora una derivada.Ejemplo :- los saltos que se observan en las retribuciones de los productos digitales, o las barreras y los golpes de efecto.
Aunque una explicación matemática para esto sería bastante fácil de proporcionar, estaría más interesado en el aspecto práctico de esta condición.
No hay nada que modelar en el pago. Un pago es un conjunto de flujos de caja. Un flujo de caja es una función de observables de mercado. Su función sólo resulta ser discontinua.
Desde el punto de vista del riesgo, esto significa que está expuesto al sesgo de la volatilidad. Por lo tanto, cualquier modelo utilizado para la valoración debe calibrarse en función de la sonrisa de la volatilidad (no se puede valorar simplemente un striked digital en K mirando la volatilidad implícita en K, también se necesita la derivada en K de la volatilidad implícita en relación con el strike).
Donde hay que trabajar de verdad en la retribución es cuando se intenta aplicar métodos numéricos estándar para valorarla. Por ejemplo, al utilizar Monte Carlo y diferencias finitas para calcular las griegas, la discontinuidad generará mucho ruido. La solución más habitual es suavizar el resultado: sustituirlo por una función continua. Normalmente se sustituye un digital por un call spread, pero las cosas se complican mucho más cuando se tienen varios tipos de digitales interactuando y se quiere que el suavizado sea conservador (es decir, subreplicar el resultado).
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No creo que haya una manera general de manejar estos pagos, en particular, para las opciones dependientes de la trayectoria, como las opciones de barrera o autocallables. Para una simple digital de estilo europeo, se puede utilizar un diferencial de compra o de venta orientado.