Una pregunta del capítulo 2 de "Métodos matemáticos para los mercados financieros".

Question

Ejercicio 2.3.1.5: El pago de una opción de potencia es $h(S_T)$ donde la función h viene dada por $h(x) = x^\beta(x-K)^+$ . Demostrar que el pago se puede escribir como la diferencia de los pagos europeos en los activos subyacentes $S^{\beta+1}$ y $S^\beta$ con golpes que dependen de K y $\beta$ .

Answer 1

Lo tenemos,
$$ h(x) = x^\beta(x-K)^+ = x^\beta (x - K) \, \mathbf{1}_{[x>K]}$$ Así obtenemos, $$ h(x) = x^{\beta+1}\mathbf{1}_{[x>K]} - K\,x^{\beta}\mathbf{1}_{[x>K]}$$ ahora $x \in [x>K]$ si y sólo si $ x \in [x^{\beta}>K^{\beta}]$ Por lo tanto,
$$ h(x) = x^{\beta+1}\mathbf{1}_{[x^{\beta + 1}>K^{\beta + 1}]} - K\,x^{\beta}\mathbf{1}_{[x^{\beta}>K^{\beta}]}$$

Así, si dejamos que $\Phi_\text{Asset-or-nothing}^\text{dig}$ la función de contrato para un activo o nada llamada binaria europea. podemos Escribir:
$$h(S_t) =\Phi_\text{Asset-or-nothing}^\text{dig}(S_{t}^{\beta + 1},K^{\beta + 1}) - K \,\Phi_\text{Asset-or-nothing}^\text{dig}(S_{t}^{\beta}, K^{\beta}) $$