Me he encontrado con diferentes formas de definir el déficit esperado, por ejemplo $$ES_a(X)=\frac{1}{1-a}\int_a^1VaR_b(X)db$$
y $$ES_a(X)=\frac{1}{a}\int_0^aVaR_b(X)db$$ por ejemplo, en Artículo de Wikipedia .
¿Son diferentes?
$VaR$ se define en algún lugar simplemente como el cuantil y en algún lugar como el negativo del cuantil.
¿Podría arrojar algo de luz sobre si se trata de una simple incoherencia de algunos autores, o hay alguna razón más profunda?
Son definiciones idénticas de ES.
Es sólo una cuestión de expresar las pérdidas como negativas o positivas.
Primera definición
Obsérvese que los límites de la integral son $a$ y $1$ : las pérdidas son positivas; es lo que se denomina Pérdida(+)/Beneficio(-).
En este caso, el alfa podría ser del 95%, como en el VaR o el ES de confianza del 95%.
Segunda definición
Las pérdidas son negativas y el cuantil correspondiente es del 5%; los límites de la integral son $0$ y $a$ .
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