Simple question about expected value of brownian motion

Question

Agradecería algo de ayuda con las matemáticas en este documento: High Frequency Trading in a Limit Order Book

En concreto, me gustaría entender cómo los autores calcularon el valor esperado del precio en el tiempo terminal T en el tiempo actual t. ¿Qué sustitución se hizo para llegar a la ecuación (3) en la página 2 (¿desde la función de valor directamente arriba?).

Answer 1

Sólo le eché un vistazo por un segundo. Pero, parece que el proceso subyacente es un movimiento Browniano aritmético, y están calculando la expectativa condicional de su expectativa en el tiempo t. Así que, básicamente, se utiliza el hecho de que

$$ \exp(\sigma W_t - \frac{1}{2}\sigma^2 t)$$ es un martingala, y luego con el incremento independiente restante, calcular directamente usando la función de densidad normal.

Answer 2

La ecuación puede derivarse fácilmente a partir de la función característica de la movimiento geométrico Browniano. Como se indica en la nota al pie, los autores utilizan $$ \frac{dS_t}{S_t} = \sigma dW_t $$ como el modelo subyacente. El cambio en el precio de la acción $X_T = S_T - S_t$ por lo tanto sigue una distribución normal con media 0 y varianza $\sigma^2 (T-t)$. La función característica del cambio en el precio de la acción entonces sigue como: $$ \phi(u) = \mathbb{E}\left[ e^{iuX_T} \right] = e^{-\frac{1}{2} u^2 \sigma^2 (T-t)}. $$ La expresión que evalúan puede ser transformada como: \begin{align} \mathbb{E} \left[ -\exp\left\{-\gamma(x+qS_T)\right\}\right] =&\ -e^{-\gamma x} \mathbb{E} \left[ -\exp\left\{-\gamma q (S_T - S_t + S_t)\right\}\right] \\ =&\ -e^{-\gamma x} e^{-\gamma q s} \mathbb{E} \left[ -\exp\left\{-\gamma q X_T\right\}\right] \\ =&\ -e^{-\gamma x} e^{-\gamma q s} \phi(i\gamma q) = -e^{-\gamma x} e^{-\gamma q s} e^{\frac{1}{2} \gamma^2 q^2 \sigma^2 (T-t)} \end{align}