¿Cuáles son las propiedades de las funciones Max y Min?

Question

Tengo problemas para entender la transición de la tercera línea a la cuarta línea.

Veo cómo funciona a través de casos, pero ¿hay una propiedad general que permite esto?

Answer 1

Deje que %-%-% donde %-%-% y %-%-% son rendimientos (aleatorios) de los dos activos, y %-%-% es su cartera. Por lo tanto, la varianza de la cartera %-%-% se puede escribir como

\begin{eqnarray} \sigma^2_P & = & \alpha^2 \sigma^2_A + (1-\alpha)^2 \sigma^2_B + 2\alpha (1-\alpha)\text{Cov}(A, B) \ & \leq &\alpha^2 \sigma^2_A + (1-\alpha)^2 \sigma^2_B + 2\alpha (1-\alpha)\sigma_A\sigma_B \ & = &(\alpha\sigma_A + (1-\alpha)\sigma_B)^2 \ & \leq & (\alpha \max(\sigma_A, \sigma_B) + (1-\alpha)\max(\sigma_A, \sigma_B))^2 \ & = & \max(\sigma_A^2, \sigma_B^2)\endeqnarray