Demuestra que esta función de utilidad indirecta es cuasi-convexa

Question

La función de utilidad indirecta es la siguiente:

$$ v(m,p) = \frac{m}{p_{1}^{1/2} p_{2}^{1/4} p_{3}^{1/4}} $$

Necesito demostrar que es cuasi-convexo. He probado tanto la definición de una función cuasiconvexa como la propiedad de un conjunto de contorno inferior convexo pero no lo he conseguido.

Esta es una pregunta en mi tarea, por lo que puede dar una pista.

Answer 1

Si los otros dos métodos no te han funcionado, otra posibilidad, aunque más difícil:

Coloca el Hessian de borde:

$$\bar{H}=\begin{bmatrix}0 & \frac{\partial v}{\partial p_1} & \frac{\partial v}{\partial p_2} & \frac{\partial v}{\partial p_3} & \frac{\partial v}{\partial m}\\ \frac{\partial v}{\partial p_1} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_1^2} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_1\partial p_2} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_1\partial p_3} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_1\partial m}\\ \frac{\partial v}{\partial p_2} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_2 \partial p_1} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_2^2} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_2\partial p_3} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_2\partial m}\\ \frac{\partial v}{\partial p_3} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_3 \partial p_1} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_3 \partial p_2} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_3^2} & \frac{\partial^2 v}{\partial p_3\partial m}\\ \frac{\partial v}{\partial m} & \frac{\partial^2 v}{\partial m \partial p_1} & \frac{\partial^2 v}{\partial m \partial p_2} & \frac{\partial^2 v}{\partial m \partial p_3} & \frac{\partial^2 v}{\partial m^2}\\ \end{bmatrix}$$

Definir $\bar{H}_k$ como el $k_{th}$ orden de la submatriz principal. Podemos aplicar el siguiente teorema:

Si el $\text{Det}\left(\bar{H}_k\right) <0$ para todos $k=2,3,4,5$ entonces $v$ es cuasiconvexa en $(\textbf{p},m)$ .

Esta es una aplicación del resultado más general:

Dejemos que $X$ sea un subconjunto convexo abierto de $\mathbb{R}^n$ y que $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función dos veces continuamente diferenciable $\left(f\in C^2\right)$ . Dejemos que $\bar{H}$ sea el hessiano de frontera y sea $\bar{H}_k$ sea el $k_{th}$ orden de la submatriz principal. Si la $\text{Det}\left(\bar{H}_k\right) <0$ para todos $k=2,3,\dots,n+1$ entonces $f$ es cuasiconvexa en $X$ .