Estoy haciendo un curso de macro este otoño y mi cálculo está bastante oxidado. Así que en las notas de la conferencia que se derivan de la siguiente: $$MPL = dY/dL = d(ALf(k))/dL = Af(k) + ALf'(k) (-K)/(L^2 A) = A(f(k) - kf'(k)) = w$$
Específicamente, no entiendo muy bien cómo consiguieron $Af(k) + ALf'(k) (-K)/(L^2 A)$ de $d(ALf(k))/dL?$
Sinceramente, estoy atascado en este punto y supongo que haré muchas diferenciaciones como esta durante todo el curso.
Utilizaron la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena, no voy a hablar de las reglas en sí, ya que estos temas pertenecen a Matemáticas.SE Pero la razón por la que puede que no te des cuenta de esto es la notación particular en una teoría de crecimiento, que sería el tema aquí, así que me centraré en eso.
En el modelo de crecimiento de Solow con cambio tecnológico que aumenta la mano de obra $f(k)$ es la función de producción expresada por "trabajador efectivo" así:
$$f(k) = F \left(\frac{K}{AL},1 \right)$$
así que podrías reescribir el problema como:
$$d\left(AL F \left(\frac{K}{AL},1 \right) \right)/dL=A F \left(\frac{K}{AL},1 \right) +AL F '\left(\frac{K}{AL},1 \right) (AK)/(LA)^2$$ Ahora podemos cancelar algunos términos y utilizar el hecho de que $k =K/AL$ :
$$A F \left(\frac{K}{AL},1 \right) + F' \left(\frac{K}{AL},1 \right) (K)/(AL)=A F \left(\frac{K}{AL},1 \right) -A k F' \left(\frac{K}{AL},1 \right) $$
Ahora, finalmente, vaya a reemplazar el $ F \left(\frac{K}{AL},1 \right)$ de vuelta con $f(k)$ así que lo consigues:
$$A F \left(\frac{K}{AL},1 \right) - Ak F' \left(\frac{K}{AL},1 \right) =A f(k) -Ak f'(k) = A(f(k) -k f'(k)) $$
Por lo tanto, se trata de prestar atención a lo que son las diferentes definiciones de los argumentos utilizados aquí. Si no puedes seguir la diferenciación en sí misma, esa es una cuestión para Mathematics.SE o simplemente para estudiar por tu cuenta (Essential Mathematics for Economic Analysis de Sydsaeter cubre todo lo que necesitas para este tipo de problemas).
Gracias por responder a esta pregunta, voy a aclarar la parte de la diferenciación en las matemáticas.SE entonces
@Joker312 de nada, además cometí un pequeño error, en realidad debía ser $\frac{K}{L^2A}$ no $\frac{K}{(LA)^2}$ (en realidad el término sería $\frac{AK}{(LA)^2}$ pero las A en el numerador y el denominador se cancelan). Sin embargo, todo lo demás permanece igual, y he editado la respuesta para reflejar eso
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