Suponga que tiene una cartera de opciones compuesta por dos opciones de compra simples. Cada opción tiene como subyacente una acción diferente que sigue un proceso estocástico browniano diferente. Las dos acciones están correlacionadas. ¿Existe una fórmula analítica para esta covarianza de la cartera?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
steven Teal
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81
Trabajemos bajo Black-Scholes, con dos GBMs correlacionados: $$ dX = \sigma X dW, \quad dY = \nu Y dZ, \quad dWdZ =\rho dt $$ He tomado la tasa de interés es cero para la simplicidad, no influye en la covariación de todos modos.
Supongamos que $F$ es un reclamo a $X$ y $G$ es un reclamo a $Y$ . Ambas satisfacen la EDP BS, por lo que $$ dF = \left(\frac{\sigma X}{F}\frac{\partial F}{\partial X}\right) F dW = \sigma_F F dW $$ y $$ dG = \left(\frac{\nu Y}{G}\frac{\partial G}{\partial Y}\right) G dZ = \nu_G G dZ $$
Por lo tanto, la correlación instantánea es $$ \frac{dF}{F} \frac{dG}{G} = \rho_{FG} dt = \rho\sigma_F \nu_G dt $$ La correlación instantánea entre las dos opciones es, como puede verse, dependiente del estado, pero para cualquier $t$ en principio se puede calcular.
La generalización a la volatilidad estocástica es similar, pero habrá términos adicionales debido a la correlación entre y con las volas instantáneas estocásticas.
Foxy
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46
Para añadir a la respuesta de @ilovevolatility, en brevedad no .
La covarianza de una cartera formada por dos opciones $O_1$ y $O_2$ sobre los activos $S_1$ y $S_2$ es
$$ Cov=\mathrm{E}_\mathbb{P}\left[\left(O_1(S^{(1)}_t,t)-\mathrm{E}\left[O_1(S^{(1)}_t,t)\right ]\right)\left(O_2(S^{(2)}_t,t)-\mathrm{E}\left[O_2(S^{(2)}_t,t)\right ]\right)\right] $$
Veamos el primer término al factorizar la expectativa: \begin {align} \mathrm {E}_ \mathbb {P} \left [O_1(S^{(1)}_t,t)O_2(S^{(2)}_t,t) \right ]=& \int_x\int_yO_1 (S^{(1)}_0e^x,t)O_2(S^{(2)}_0e^y,t)f(x,y;t)dxdy \\ =& \int_x\int_y\mathrm {E}_ \mathbb {Q} \left (e^{-r(T-t)} \phi_1\left (x,K_1 \right )|x \right ) \mathrm {E}_ \mathbb {Q} \left (e^{-r(T-t)} \phi_2\left (y,K_2 \right )|y \right )f(x,y;t)dxdy \end {align}
Según parece, esta integral cuatridimensional no es fácil de resolver en forma (semi)cerrada. El "habitual Sin embargo, se pueden aplicar aproximaciones.
- Monte Carlo: Simular las trayectorias de los activos (bajo $\mathbb{P}$ ) y el precio de las opciones.
- Aproximación: Utilizar el primer orden ("Delta-Normal") y o las primeras y segundas derivadas ("Delta-Gamma-Normal")
- Valoración de la expectativa $\mathrm{E}\left[(S_1-K_1)^+(S_2-K_2)^+\right]$ a través de una opción de semáforo (todavía muy complicado...)
¿HORA DE LA VERDAD?
