Aplicación de la paridad Put-Call

Question

En el modelo binomial, cómo que la Delta de una opción de compra $\Delta^{call}$ y el Delta de una opción de venta $\Delta^{put}$ con el mismo vencimiento y la huelga satisfacen $$\Delta^{call}_t - \Delta^{put}_t = 1, \ \ \text{for all} \ \ t = 0,\ldots, T-1$$ ¿Este resultado es independiente del modelo? Pista: paridad put-call.

Disculpen los errores gramaticales de la pregunta, el inglés no es la primera lengua de mis profesores. No entiendo lo que quiere decir al preguntar si el modelo es independiente. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

En primer lugar, tenemos $P(t)+S(t)=C(t)+B(t,T)\cdot K$ ,

Entonces, $\frac{\partial P(t)}{\partial S(t)} + \frac{\partial S(t)}{\partial S(t)} = \Delta^{\text{put}}_{t}+1$ y $\frac{\partial C(t)}{\partial S(t)} + \frac{\partial [B(t,T)\cdot K]}{\partial S(t)} = \Delta^{\text{call}}_{t}+0$ . Finalmente, $\Delta^{\text{call}}_{t}-\Delta^{\text{put}}_{t}=1$ .

Esta relación es libre de modelo, en sentido, para derivar este resultado no usamos que estamos en el modelo binomial :) Así que el resultado es dependiente del modelo.

Answer 2

Sólo utilizo el hecho de que

$S(t)\cdot B^{-1}(t)$ es un $\mathbb{Q}-$ martingala y estamos considerando las opciones europeas.

Sí, es cierto,

Tenemos que : $(x-K)_{+}-(K-x)_{+}=x-K$ $\forall x,K \in \mathbb{R}$ ( $\diamond$ )

Pero también sabemos que el precio de una Call/Put europea viene dado por :

$C(t) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\left(S_T-K\right)_{+}\cdot \frac{B(t)}{B(T)}\, \mid \, \mathcal{F}_{t}\right]$ , $P(t) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\left(K-S_T\right)_{+}\cdot \frac{B(t)}{B(T)}\, \mid \, \mathcal{F}_{t}\right]$

Utilizando el ( $\diamond$ ), tenemos $C(t)-P(t) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\left(S_T-K\right)\cdot \frac{B(t)}{B(T)}\, \mid \, \mathcal{F}_{t}\right]=B(t)\cdot \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ \frac{S_T}{B(T)}\, \mid\,\mathcal{F}_{t}\right]-\frac{B(t)}{B(T)}\cdot K$

Utilizando la suposición, tenemos $B(t)\cdot \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ \frac{S_T}{B(T)}\, \mid\,\mathcal{F}_{t}\right]=B(t)\times \frac{S_{T}}{B(t)} = S_{t}$

También sabemos que $\frac{B(t)}{B(T)}=B(t,T)$ (Creo que si no es así, hay arbitraje)

Al final, obtenemos el resultado :)

Answer 3

En el modelo binomial suponga que la acción puede ir a U o a D. Suponga que el strike de la opción es K donde D < K < U.
Si la acción sube a U, el pago de la compra es (U-K) y el de la venta es 0. Si la acción va a D, el pago de la compra es 0 y el pago de la venta es (K-D). Consideremos ahora una cartera de compra y venta. Si las acciones van a U, el pago de la cartera es U-K. Si las acciones van a D, el pago de la cartera es D-K. Por lo tanto, la cartera es la misma que la acción - K (es decir, un forward sobre la acción). Por lo tanto, su delta es uno, en el modelo binomial. Por supuesto, su delta es uno en cualquier modelo, como otros han señalado.