¿Qué significa la palabra "afín" en los modelos de estructura temporal afín?

Question

Soy nuevo en el campo de las Finanzas Matemáticas y quería tener una idea del significado intuitivo, físico y matemático del término "afín" en los modelos de estructura temporal afín. También se agradecerá cualquier referencia bibliográfica.

Por otro lado, ¿está relacionado con las propiedades de multiescalado y autosimilaridad de varios procesos estocásticos?

Answer 1

Según Monika Piazzesi:

The word “affine term structure model” is often used in different ways. I will use the
word to describe any arbitrage-free model in which [zero coupon] bond yields are affine 
(constant plus-linear) functions of some state vector x.

Affine models are thus a special class of term structure models, which write the yield 
y() of a -period bond as
                                   y() = A() + B() x
for coefficients A() and B() that depend on maturity . The functions A() and B()
make these yield equations consistent with each other for different values of . The
functions also make the yield equations consistent with the state dynamics.

The main advantage of affine models is tractability. Having tractable solutions for
bond yields is useful because otherwise yields need to be computed with Monte Carlo
methods or solution methods for PDEs. Both approaches are computationally costly,
[...].

The literature on bond pricing starting with Vasicek (1977) and Cox et al. (1985), 
therefore has focused on closed-form solutions.The riskless rate in these early
setups was the only state variable in the economy so that all bond yields were 
perfectly correlated. A number of extensions of these setups followed both in terms
of the number of state variables and the data-generating processes for these 
variables. Duffie and Kan (1996) finally provided a more complete characterization of
models with affine bond yields.

Fuente: https://web.stanford.edu/~piazzesi/s.pdf

Esta definición es ligeramente más general que la anterior, ya que $x_t$ (la "variable de estado") podría ser un vector en lugar de un escalar $r_t$ (que suele representar el tipo libre de riesgo instantáneo) utilizado en los primeros modelos.

Answer 2

En un modelo de estructura temporal afín, los precios de los bonos de cupón cero pueden escribirse como $P\left(t, T\right) = e^{A\left(t, T\right) - B\left(t, T\right) r_t}$ . El tipo de cupón cero $R\left(t, T\right) = -\frac{\ln \left(P\left(t, T\right) \right)}{T - t}$ es, por tanto, una función afín en el tipo corto $r_t$ .

Muchos libros de texto tienen algunos párrafos dedicados a estos modelos; si quiere una monografía completa sobre los modelos de tipos de interés, le recomiendo el libro de Brigo y Mercurio Modelos de tipos de interés .