¿Puede el teorema central justificar la hipótesis de normalidad de la distribución de la rentabilidad de los activos? Y si puede, ¿por qué la evidencia empírica muestra que este supuesto, en el que se basan muchos modelos financieros, está muy lejos de la realidad?
No. Acabo de publicar un artículo sobre esto. Si el retorno se define como $$r_t=\frac{p_{t+1}q_{t+1}}{p_tq_t},$$ y como los rendimientos no son datos mientras que los precios y los volúmenes sí lo son, se deduce que la distribución de los rendimientos depende totalmente de la distribución de los precios y de la distribución de las cantidades. Por ejemplo, en la quiebra, $q_{t+1}=0$ .
Como se trata de un documento muy largo, no hay una sola distribución, ni siquiera una familia de distribuciones, que intervenga en las devoluciones. Bajo los supuestos estándar establecidos en los modelos de estilo Markowitziano, la distribución de los rendimientos se integraría para ser $$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$$ Esta suposición se deriva del hecho de que hay muchos compradores y vendedores y de que las acciones se venden en una subasta doble, por lo que no se produce la maldición del ganador. Si la maldición del ganador estuviera presente, como en las subastas antiguas, entonces la distribución sería el cociente de dos distribuciones de Gumbel.
En cualquier caso, con algunas excepciones especiales interesantes, los rendimientos de los valores de renta variable no pueden tener una media. Dado que no puede haber una rentabilidad media, se deduce que $\beta$ como se define en modelos como el CAPM no puede existir. Un supuesto de todos estos modelos financieros ha sido que los parámetros se conocen con probabilidad uno, pero si se abandona ese supuesto, se encontrará que no existe ningún estimador que pueda converger al parámetro poblacional.
Las distribuciones de razón son bien conocidas y se enseñan como trabajo de grado estándar en estadística. El método más común para encontrar una distribución de razón si las subyacentes son densidades continuas es que si $Z=\frac{Y}{X}$ entonces la densidad de $Z$ es $$g(z)=\int_{-\infty}^\infty|x|f(x,zx)\mathrm{d}x.$$
Con esto se puede derivar casi cualquier forma de rendimiento, excepto los bonos de descuento de un solo periodo y las fusiones de efectivo por acciones, así como los ratios contables y las tasas de crecimiento.
Como regla general, el teorema del límite central se viola fuertemente para cualquier dato de rendimiento financiero, así como para bastantes datos macroeconómicos. Además, también como regla general, no existe ningún estimador no bayesiano para los datos financieros. Presentaré esto junto con un sustituto de Black-Scholes en una conferencia en Albuquerque dentro de unas semanas. La forma abreviada de esto sería la siguiente:
Para una ecuación como $$x_{t+1}=\beta{x}_t+\epsilon_{t+1},\beta>1$$ sólo podrían funcionar los métodos de regresión no paramétricos, como la regresión de Theil o la regresión cuantílica. Los métodos bayesianos nunca son menos arriesgados que los frecuentistas, aunque lo contrario no es cierto. Si suponemos que la herramienta frecuentista elegida tiene la misma densidad de muestreo que la densidad posterior si la densidad a priori fuera plana y se marginaran los parámetros molestos, entonces la densidad frecuentista seguiría siendo inadmisible.
El problema es que la distribución de muestreo frecuencial es simétrica e incluiría regiones en las que $\beta\le{1}$ . Si esa región tiene una densidad de $K$ y la región mayor que la unidad tiene área $1-K$ entonces se deduce que la densidad posterior bayesiana con una previa donde $\Pr(\beta\le{1})=0$ tendrá masa cero en la región menor o igual a uno, pero cuya densidad sería $$\frac{1-K}{K}$$ veces mayor que el componente no bayesiano equivalente.
Dado que la admisibilidad puede definirse en términos de dominancia estocástica, se deduce que el estimador bayesiano siempre domina estocásticamente a un estimador frecuentista. Por lo tanto, no existe ningún método admisible no bayesiano para la mayoría de los problemas financieros y la mayoría de los problemas macroeconómicos en los que hay crecimiento.
La normalidad es sólo una suposición que puede utilizarse para fundamentar un modelo. Ningún modelo es correcto, pero algunos pueden ser útiles. Además, la suposición de normalidad no depende realmente de que el proceso real sea normal. Más bien, sólo requiere que las decisiones de un inversor se rijan por la media y la varianza. Aunque el proceso subyacente de los rendimientos de los precios de los activos casi nunca es normal - per se - solemos suponer la normalidad porque:
Un inversor que asuma la normalidad conjunta no necesita interesarse por nada más porque la distribución normal es una distribución de máxima entropía que está completamente descrita por dos parámetros: la media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ . Por lo tanto, el supuesto de normalidad impone la mínima restricción estructural previa más allá de estos momentos. Un inversor que sólo se preocupa por la media y la varianza que no utiliza la normalidad está teniendo en cuenta supuestos adicionales que pueden o no ser correctos o robustos.
Hay teorías que definen las preferencias de los inversores para los momentos más allá de los dos primeros, pero no hay muchas pruebas de las que tenga conocimiento que apoyen esa posición. Véase: ¿Las posibles preferencias de los inversores por los momentos superiores a los 2 primeros de la distribución de la rentabilidad?
La normalidad aproximada de los rendimientos logarítmicos se demuestra clásicamente a través del teorema del límite central de Lindeberg-Lévy (CLT). La normalidad también surge debido a una variación del CLT en la que la muestra de medias de cualquier distribución tenderá a la normalidad. Por lo tanto, cuando se empieza a observar un gran número de activos y rendimientos, las distribuciones tenderán a la normalidad.
Sin embargo, si decide no asumir la normalidad, probablemente deberá tener una razón de peso, ya que es mucho más difícil hacer economía sin este supuesto.
Por ejemplo, las técnicas de minimización de la varianza, como las definidas en la Teoría Moderna de la Cartera (MPT), se basan implícitamente en el supuesto de normalidad conjunta. Aunque habrá un conjunto de ponderaciones de la cartera que minimice la varianza independientemente de las distribuciones subyacentes, la correlación (que tampoco asume la normalidad) sólo es una medida completa de la asociación si la distribución multivariada conjunta es normal; es decir, la covarianza sólo es una medida exhaustiva del movimiento conjunto si las distribuciones conjuntas son a su vez normales. Podemos ver que esto es cierto porque la distribución conjunta de X e Y está definida por la normalidad conjunta:
${\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\iint _{X\,Y}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left({\frac {X^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-{\frac {2\rho XY}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\right)\right]\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y$
Que a través de un prueba puede ser un espectáculo para producir:
$\sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}},$
Si ahora, definimos $\omega_i \sigma^2_i=\sigma_X$ y $\omega_j \sigma^2_j=\sigma_Y$ Entonces obtenemos la ecuación que se utiliza como base de la optimización de la varianza media de una cartera de dos activos:
$\mathbb{E}[\sigma _{p}^{2}]=\omega_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\omega_{j}^{2}\sigma _{j}^{2}+2\omega_{i}\omega_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}$
Por lo tanto, aunque la matriz de covarianza de la cartera siempre puede calcularse, en la medida en que los activos subyacentes tienen rendimientos que no son normales, es probable que la optimización sea espuria.
No
Este es un error común sobre el teorema del límite central.
Existen múltiples versiones del CLT, pero la versión estándar se refiere a $n$ muestras independientes $X_1,\dots,X_n$ extraído de una distribución con varianza finita $\sigma^2$ . Si es así, obtenemos la siguiente convergencia (en la distribución).
$$ \sqrt n \dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1) $$
Obsérvese que la convergencia se refiere a una transformación de la media muestral, no de la original $X_i$ . Esto es una buena noticia; queremos que el original $X_i$ para converger a su distribución (lo que el teorema de Glivenko-Cantelli asegura que ocurrirá). En otras palabras, a medida que recogemos más y más datos de una distribución, queremos (y conseguiremos) que la muestra revele la distribución de la población.
No - los límites centrales nunca pueden hacer que una distribución no normal se distribuya normalmente. [O que se distribuya normalmente, en los supuestos del modelo financiero estándar].
Lo que los CLT pueden demostrar es que (en muestras infinitas) la media, la desviación estándar, el error estándar, etc. de la distribución de los rendimientos de las acciones se distribuyen normalmente. Es decir, los parámetros de la distribución de los rendimientos se convierten en normales en muestras suficientemente grandes, aunque la distribución de los propios rendimientos subyacentes no sea normal.
La cuestión más amplia es por qué afirmas que la distribución subyacente está "muy lejos" de la normal/lognormal. Sí, las colas están sesgadas, SI se traza la escala logarítmica... pero al trazarla, se ve bastante "en forma de campana" ;-)
mejor, DEM
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