Tomando la derivada del tiempo, las ecuaciones de crecimiento

Question

¿Puede alguien ayudar a tomar la derivada de la siguiente ecuación con respecto al tiempo?

$ln(\frac{\gamma_t+(n+\delta)}{sA}) = (\beta - 1)ln{k_t}+(\alpha+\beta-1)ln{N_t}$

No se trata de una pregunta de deberes, sino de la lectura de un texto sobre el crecimiento económico y no estoy seguro de cómo ha llegado el autor a la expresión final.

Gracias

Answer 1

Lo intentaré, tal vez sea sólo esta primera derivada la que le da problemas:

$$ \frac{d}{dt} ln \left( \frac{ \gamma_t + (n+\delta)}{sA} \right) = \frac{sA}{\gamma_t + (n+\delta)} \frac{d}{dt} \left( \frac{ \gamma_t + (n+\delta)}{sA} \right) $$

$$ = \frac{sA}{\gamma_t + (n+\delta)} \frac{\dot{\gamma}_t + 0}{sA} = \frac{\dot{\gamma}_t}{\gamma_t + (n+g)} $$

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Y el resto son simplemente la derivada temporal de un logaritmo igual a su tasa de crecimiento $ \left( \frac{d}{dt} ln X = \frac{\dot{X}}{X} \right) $ :

$$ \frac{d}{dt} \bigg[ (\beta-1) ln k_t + (\alpha + \beta - 1) ln N_t \bigg] = (\beta-1) \frac{\dot{k}_t}{k_t} + (\alpha + \beta - 1) \frac{\dot{N}_t}{N_t} $$

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Por lo tanto, concluyendo la derivada del tiempo es:

$$ \frac{\dot{\gamma}_t}{\gamma_t + (n+g)} = (\beta-1) \frac{\dot{k}_t}{k_t} + (\alpha + \beta - 1) \frac{\dot{N}_t}{N_t} $$