Dadas las dos difusiones de salto: \begin{equation} \begin{aligned} dX_{1,t} &= a_1 dt + b_1 dW_t + c_1 dN_t(\lambda) \\ dX_{2,t} &= a_2 dt + b_2 dW'_t + c_2 dN_t(\lambda) \\ corr(dW,dW') &= \rho \\ dN & \mbox{: Poisson process, of intensity } \lambda \end{aligned} \end{equation} que SDE $$df_t = ? $$ satisface la función $$ f_t = f(X_{1,t}, X_{2,t}) \mbox{ ???} $$ Gracias de antemano por la ayuda y/o referencias.
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Asumiendo el proceso de Poisson $N_t$ es independiente de los movimientos brownianos $(W_{1,t},W_{2,t})$ Tendrás \begin{align} df(X_{1,t},X_{2,t}) &= \frac{\partial f}{\partial X_{1,t}} dX_{1,t}^c + \frac{\partial f}{\partial X_{2,t}} dX_{2,t}^c + \dots \\ &+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_{1,t}^2 } d\langle X_{1,t} \rangle_t^c + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_{2,t}^2} d\langle X_{2,t} \rangle_t^c + \frac{\partial^2 f}{\partial X_{1,t} \partial X_{2,t}} d\langle X_{1,t} X_{2,t} \rangle_t^c + \dots \\ &+ \left( f(X_{1,t},X_{2,t}) - f(X_{1,t^-},X_{2,t^-}) \right) dN_t \end{align} donde el superíndice $c$ denota la parte continua de las semimartingales $(X_{i,t})_{t \geq 0}$ es decir $$ d X_{i,t}^c = a_i dt + b_i dW_{i,t},\,\,\, i=1,2$$ tal que $$ d\langle X_{i,t} \rangle_t^c = b_i^2 dt,\,\,\, i=1,2 $$ $$ d\langle X_{1,t}, X_{2,t} \rangle_t^c = \rho b_1 b_2 dt $$
Observación 1 : Todas las derivadas anteriores deben ser evaluadas en $t^-$ ;
Observación 2 : He utilizado la notación $\langle X \rangle_t$ para referirse al opcional variación cuadrática (a veces denotada por $[ X ]_t$ en la literatura) en lugar de previsible variación cuadrática (la variación cuadrática previsible es el compensador de la variación cuadrática opcional). En caso de que el proceso tenga trayectorias continuas los 2 conceptos coinciden pero aquí no es el caso así que espero que esto aclare las cosas.
Antecedentes
Consideremos una semimartingala no continua $(X_t)_{t \geq 0}$ solución de $$ dX_t = a dt + b dW_t + c dN_t $$ Anticipándonos a lo que viene, también presentamos su contraparte continua $(X_t^c)_{t \geq 0}$ verificando $$ dX_t^c = a dt + bdW_t $$
En forma diferencial, la fórmula de Itô generalizada para semimartingales no continuos dice (véase la ecuación (2) en este gran blog + demostración), \begin{align} df(X_t) &= \frac{\partial f}{\partial X_t} dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} d\langle X \rangle_t \dots \\ &+ \left( \underbrace{\left( f(X_t)-f(X_{t^-}) \right)}_{\Delta f(X_t)} - \frac{\partial f}{\partial X_t} \underbrace{c}_{\Delta X_t} - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} \underbrace{c^2}_{\Delta X_t^2} \right) dN_t \tag{1} \end{align}
La variación cuadrática de la semimartingala no continua $(X_t)$ se calcula como $$ d\langle X \rangle_t = b^2 dt + c^2 dN_t = d\langle X \rangle_t^c + c^2 dN_t $$ asumiendo que el proceso de Poisson es independiente del movimiento browniano bajo nuestro espacio de probabilidad de trabajo (cf. sección 15.4 ). Junto con la definición de la SDE satisfecha por $(X_t)_{t \geq 0}$ este resultado nos permite reescribir $(1)$ como \begin{align} \require{cancel} df(X_t) &= \frac{\partial f}{\partial X_t} \left(a dt + b dW_t + \cancel{c dN_t} \right) + \dots \\ &\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} \left( b^2 dt + \cancel{c^2 dN_t} \right) + \dots \\ &+ \left( (f(X_t)-f(X_{t^-}) \cancel{- \frac{\partial f}{\partial X_t} c} \cancel{- \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} c^2} \right) dN_t \end{align}
$$ df(X_t) = \frac{\partial f}{\partial X_t} dX_t^c + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} d\langle X_t\rangle_t^c + \left( f(X_t)-f(X_{t^-}) \right) dN_t $$
Ahora puedes repetir el experimento partiendo de la contrapartida multivariante de $(1)$ es decir \begin{align} df(X_t) &= \frac{\partial f}{\partial X_t} dX_t + \frac{\partial f}{\partial Y_t} dY_t + \dots \\ &\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} d\langle X \rangle_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial Y_t^2} d\langle Y \rangle_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t Y_t} d\langle X, Y \rangle_t \dots \\ &+ \left( \Delta f(X_t,Y_t) - \frac{\partial f}{\partial X_t} \Delta X_t - \frac{\partial f}{\partial Y_t} \Delta Y_t \dots \\ - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X_t^2} \Delta X_t^2 - \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial Y_t^2} \Delta Y_t^2 - \frac{\partial^2 f}{\partial X_t \partial Y_t } \Delta X_t \Delta Y_t \right) dN_t \tag{2} \end{align} para terminar en la respuesta mencionada.
