Transformada de Fourier

Question

En unos apuntes sobre "Fijación de precios de opciones mediante la transformada de Fourier": El precio de la opción de compra simple de vanila viene dado por $$ C(t, S_t) = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[(S_T -K)^+|\mathcal{F}_0] = e^{-rT} \int_K^{\infty} (S_T -K)\mathbb{Q}(S_T|\mathcal{F}_0) dS_T$$ Es una fórmula estándar. En el siguiente paso el autor afirma utilizar, un cambio de variable de $S_T$ a $\ln S_T$ y escribe $$ C(T, K) = e^{-rT} \int_{\ln K}^{\infty} (e^{\ln S_T} -e^{\ln K})\mathbb{Q}(\ln S_T|\mathcal{F}_0) d \ln S_T$$ que necesita alguna explicación. Para ser precisos, creo que debería ser $\ln S_T$ en lugar de $e^{\ln S_T}$ en la integral y el resto está bien.

Answer 1

Creo que está bien $$ S_T = e^{\ln S_T} $$

Answer 2

Obsérvese que la segunda expresión no se basa en una sustitución de la primera, sino que es una visión diferente: \begin {align*} e^{-rT}E \left ((S_T-K)^+ \right ) &= e^{-rT}E \left ( \left (e^{ \ln S_T}-e^{ \ln K} \right )^+ \right ) \\ &=e^{-rT} \int_ {- \infty }^{ \infty } \left (e^{ \ln S_T}-e^{ \ln K} \right )^+Q( \ln S_T \mid \mathcal {F}_0)\N-, d \ln S_T \\ &=e^{-rT} \int_ { \ln K}^{ \infty } \left (e^{ \ln S_T}-e^{ \ln K} \right )Q( \ln S_T \mid \mathcal {F}_0)\N-, d \ln S_T. \end {align*}