Dado el siguiente proceso estocástico:
$$ dX = a(X,t)dt + b(X,t)dz $$
donde:
$$ dz = A \sqrt{dt}$$
y $A$ es una variable aleatoria con media cero y varianza $1$ .
¿Existe una forma de calcular el valor esperado de $X$ en algún momento $t$ ? Mi sospecha es que es simplemente la integral del valor esperado de $dX$ . Sin embargo, la función afecta a su propio valor esperado, por lo que también podría imaginar que la respuesta es muy diferente. ¿Alguna ayuda al respecto? Gracias :)
Si escribes la SDE en la forma integral todo debería ser sencillo: $$ X_t = X_0 + \int_0^t a(X_s, s) ds + \int_0^t b(X_s, s) dz_s $$
Si ahora se toma el valor esperado el tercer término desaparece ya que $A$ tiene $0$ media (y por definición de la integral del proceso estocástico).
Al final se obtiene:
$$ \mathbb{E} \left[ X_t\right] = X_0 + \int_0^t \mathbb{E} \left[ a(X_s, s) \right] ds. $$
Ahora el cálculo explícito depende de la estructura del término $a$
¡Ciao!
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Sí, tienes razón. Los valores esperados se pueden encontrar eliminando el término aleatorio dz. Queda la ecuación diferencial $dX=a(X,t)dt$
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¿Estás seguro? Porque mientras que la expectativa de dX es claramente a(X,t)dt puedo imaginar que no es el caso para X(t). Mi razonamiento es que pequeñas perturbaciones debidas al dz pueden propagarse y desplazar sistemáticamente el valor esperado. Esto podría ser posible, por ejemplo, cuando a(X,t) eleva al cuadrado el valor de X. entonces el dz también se eleva al cuadrado. Cuando esto ocurre, ya no tiene una expectativa de cero y, por tanto, influiría en E(X).