Modelo de publicación de salarios estáticos e indiferencia a los niveles salariales

Question

Supongamos que una empresa monopsonística tiene la siguiente función de beneficio simple: $$\pi (w) = PL(w) - wL(w) $$ donde $L(w)$ es la oferta de trabajo, $P$ es el precio constante de producción y tiene una tecnología de producción lineal.

¿Cuál es un horario de oferta de trabajo $L(w)$ que haría que la función de beneficio fuera insensible al salario?

Answer 1

La función de beneficio es una relación óptima. Por lo tanto, debe cumplir con las condiciones de primer orden para un máximo:

$$ \text{f.o.c} : w^*: PL' - L - w^*L' =0 \implies L\left[ (P-w^*) \frac {L'}{L}-1\right] = 0$$

Para que esta condición se cumpla sin importar cuál sea el salario, debe ser el caso de que, para todos los niveles salariales, tenemos

$$(P-w) \frac {L'}{L}-1 = 0 \;\;\forall w \implies L' = \frac{1}{P-w}L \;\;\forall w$$

Por supuesto, esto se parece exactamente a la condición de primer orden - la diferencia crítica es que ahora debe cumplirse para todos los $w$, por lo que ya no es una condición que pueda cumplirse para un $w específico, sino una ecuación diferencial en $w$, que cae en la categoría general $y'_x = f(x)\cdot y$. Puede resolverse (es "separable").

Supongo que puedes terminar esto.