Derivado parcial de una integral

Question

Supongamos que tengo un modelo para la tasa corta %-%-% como (%-%-% es el movimiento Brownian estándar)

$r$

Entonces quiero encontrar la dinámica de %-%-%, pero ¿cómo lo hago cuando el proceso en sí contiene integrales w.r.t movimiento Brownian? Me quedo atascado al usar la fórmula de Ito y tratar de calcular la integral $W(t)$

Answer 1

Dejar %-$$X_t = \int_0^t \sigma(s) dW_s$%%%'%''r_t''''''''''''''''''X_t''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' y utilizar el lema de It 's para calcular el diferencial $ denote a stochastic integral in the Itô sense. In that case one can write $$ en el que a partir de %-%-% \begin{align} \partial_t f(t,X_t) &= \partial_t \int_0^t \sigma^2(s)(t-s) ds \ &= \int_0^t \sigma^2(s) ds + 1 (\sigma^2(t)(t-t)) - 0 (\sigma^2(0)(0-s)) \ &= \int_0^t \sigma^2(s) ds \end\begin{align} \int_0^t \int_0^u \sigma^2(s) ds du &= \int_0^t \int_s^t \sigma^2(s) du ds\ &= \int_0^t \sigma^2(s) (t-s) ds \end------------------------------------------------------------------ de la regla integral de Leibniz y $ where $$ junto con, por definición de la integral It-: $f:(t,x) \to c + \int_0^t \sigma^2(s)(t-s) ds + x \tag{1}$$ de tal manera que, finalmente: $$ dr_t = \partial_t f(t,X_t) dt + \partial_x f(t,X_t) dXt + \partial{xx} f(t,X_t) d\langle X \rangle_t $$

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Y, de hecho, mediante la integración de esta última ecuación de %-%-% a %-%-% uno obtiene: $(1)$$ y señalando que ---------------------------------------------------------------------------- por el teorema Fubini, uno obtiene $$ \partial_x f(t,Xt) = 1,\quad \partial{xx} f(t,X_t) = 0 $$