Suponiendo que su modelo de valor en riesgo se basa en suposiciones de normalidad, por ejemplo, usando un modelo normal Delta-Gamma, ¿la aproximación se mantiene perfectamente para una cartera de acciones y opciones? ¿Qué pasa con otros instrumentos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
De manera efectiva, siento dos preguntas aquí, 1) acerca de la validez de la suposición de $\sqrt{T}$ en la escala del horizonte de riesgo ; y 2) la calidad de la aproximación $ \Delta$-$\Gamma$ en relación a eso.
Respecto a la pregunta 1.
La escala de la raíz cuadrada del tiempo resulta de la suposición i.i.d. de la variable aleatoria subyacente. Si tu v.a. (que podría ser el PnL de la cartera) es verdaderamente independiente en el tiempo e idéntica a lo largo de los puntos en el tiempo, entonces
$$ \sigma^2\left(Z_k\right)\equiv \sigma^2\left(\sum_{1}^{k}x_i\right)=k\sigma_x^2, $$ es decir. la volatilidad escala con $\sqrt{k}$. De nuevo: De manera efectiva, este resultado solo es válido para variables i.i.d. El gráfico a continuación representa un ejemplo rápido utilizando una distribución normal (verde) y un ejemplo distribuido de t-student (rojo). Cada punto es un cuantil del 99% basado en una simulación con 5000 escenarios y el número de componentes que se agregaron en el eje x. Por ejemplo, el punto en la esquina superior derecha (rojo) es el cuantil del 99% de la suma de 1000 v.a. distribuidas de t-student con grados de libertad iguales a 3. En ambos casos, la regla de $\sqrt{t}$ puede (perfectamente) coincidir con el cuantil del 99% en cada horizonte temporal. 
Respecto a la pregunta 2:
Dado que tus factores de riesgo, es decir, la fuerza impulsora detrás de tu PnL modelado, bien podrían ser i.i.d. (al menos podríamos asumir eso), necesitamos asegurarnos de que la posterior agregación de impactos "pequeños" locales / no locales en el tiempo 0 (Enfoque Delta-Gamma) sumen lo mismo bajo un movimiento "más grande".
Ejemplo lineal:
Para un producto lineal, esto se cumple de manera igualitaria, es decir, para $f=a+bx$,
$$ f(x_0+ x)-f(x_0)=bx $$
lo cual es lineal. Así que si $x$ es i.i.d. en este caso, la regla de $\sqrt{T}$ también se cumplirá para $f(x)$.
Ejemplo no lineal (Delta gamma)
Veamos cómo las contribuciones no lineales podrían sumar para $f(x)=a+bx+cx^2$:
$$ f(x_0 + x)-f(x)=(b+2cx_0)x+cx^2 $$
Como puedes ver en este ejemplo muy simple, $$f(x_0+\sum_i x_i)-f(x_0)\neq \sum_if(x_0+ x_i)-f(x_0)$$
y por lo tanto no podemos simplemente 'pasar' las propiedades del factor de riesgo (y sus i.i.d.) a través.
A continuación se encuentra otro ejemplo muy simple al respecto. Supongamos que tenemos nuevamente un factor de riesgo i.i.d., digamos que es un retorno de acciones. Luego, el pnl de reevaluación completo de la acción es $$f(x)=S(e^{x}-1) \approx S(x+0.5x^2)$$
Un gráfico de esta suposición simple (abajo) muestra que para horizontes temporales pequeños, el componente lineal de la función de precios (el término "$bx$") predomina, y así lo hará la propiedad de $\sqrt{t}$ del factor de riesgo i.i.d. En cierto punto, las contribuciones de orden superior ($x^2$ y superiores) tienen un impacto y predominarán en la función. En este punto, la regla de la raíz cuadrada del tiempo ya no es aplicable en su forma estándar.
Resumen práctico
En la práctica, a menudo me encuentro con que la regla se aplica de manera práctica. Para horizontes temporales cortos, factores de riesgo 'buenos' (suficientemente i.i.d) y productos "simples", su aplicación parece razonable. En escalas de tiempo más largas ($>$ 10 días hábiles), generalmente vemos que ya no se puede aplicar debido, por ejemplo, a la autocorrelación o a los pagos no lineales.
