Función de producción rara de Leontief

Question

Estoy resolviendo algunos ejercicios relacionados con la microeconomía y me encontré con esta extraña función de producción de Leontief: $$Q =\left(\min\{K, L\} \right)^b$$

No estoy seguro de cómo resolverlo. Tengo que encontrar la demanda de insumos, la función de costes, etc. .... ¿Debo resolverlo como $K^b=L^B=Q$ y luego proceder como de costumbre con el estándar Leontief?

Answer 1

No se trata de un caso extraño, sino de una función de producción de Leontief que es no homogéneo de grado uno, pero homogéneo de grado $b$ . Esto se puede ver si se utiliza la conexión entre una función de producción C.E.S. y la de Leontief.

Considere $$Q_b=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{b}{\rho}},\;\; b>0$$

$$\Rightarrow Q_b = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{b}{\rho}}}$$

Tome el límite cuando $\rho \rightarrow \infty$ . Como nos interesa el límite cuando $\rho\rightarrow \infty$ podemos ignorar el intervalo para el que $\rho \leq0$ y tratar $\rho$ como estrictamente positivo.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ . También tenemos $K, L >0$ . Entonces verificamos que se cumple la siguiente desigualdad:

$$(1-a)^{b/\rho}(1/L^{b})\leq Q_b^{-1} \leq (1/L^{b}) $$

$$\rightarrow (1-a)^{b/\rho}(1/L^{b})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{b}{\rho}} \leq (1/L^{b}) \tag{1}$$

elevando a lo largo del $\rho/b$ poder para conseguir

$$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$$ que efectivamente se mantiene, obviamente, dados los supuestos. A continuación, volvamos a la primera fila de $(1)$ y

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{b/\rho}(1/L^{b}) =(1/L^{b})$$

que intercala el término medio en $(1)$ a $(1/L^{b})$ Así que

$$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_b = \frac {1}{1/L^b} = L^b = \big[\min\{K,L\}\big]^{b} \tag{3}$$

Para más información, consulte esta respuesta .

Answer 2

Se nos da la función de producción $Q = \left(\min(K, L)\right)^\beta$ . El problema de minimización de costes del productor se define como la búsqueda de la combinación trabajo-capital que minimiza el coste de producir al menos $y$ unidades de producción dado que el precio del trabajo es $w$ y el precio del capital es $r$ .

\begin {eqnarray*} \min_ {L, K} && wL + rK \\ \text && \left ( \min (K, L) \right )^ \beta \geq y \\ && K \geq 0, \ L \geq 0 \end {eqnarray*}

Las soluciones a este problema (también conocidas como funciones de demanda de entrada condicional) satisfacen: \begin {eqnarray*} L = K = y^{1/ \beta } \end {eqnarray*} y la función de coste (óptima) asociada es por tanto \begin {eqnarray*} C(w,r,y) = (w+r)y^{1/ \beta } \end {eqnarray*}

Answer 3

No hay problema. $$Q =\left(\min\{K, L\} \right)^b$$

Sólo significa que primero se compara $K$ y $L$ y su cantidad $Q$ será igual la inferior a la potencia $b$ .

Ejemplo: $b=2$ , $K=3$ y $L=7 \implies Q = 3^2 = 9$ .

Answer 4

Definir $Q=q^b$ , donde $q=min\{K,L\}$ .

Para $b>0$ , $Q$ es una transformación monótona de $q$ . Por ello, la solución para $q$ es equivalente a la solución para $Q$ . Simplemente resuelva su problema para $q$ y luego reelaborarlo en términos de $Q$ .