¿Por qué$v_i=(X_i-\mu _X)u_i$ es iid?

Question

No entiendo. Ok, tenemos$\beta_1-\hat{\beta }_1=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}v_i}{(\frac{n-1}{n}){s_{X}}^{2}}$. Entonces, para la primera suposición de MCO resulta que$E(v_i)=E((X_i-\bar{X})u_i\overset{p}{\rightarrow}E((X_i-\mu_X)u_i)=E(X_i-\mu_X)E(u_i)=0$ (desde$E(u_i|X=x_i)=0$). Luego, Stock y Watson dicen que para el segundo supuesto de MCO$v_i$ es iid y$Var(v_i)<\infty$. Seguramente esto es para el muestreo casual de variables, pero no puedo probarlo claramente. Después de esto, tenemos$E(v_i)=0$ y$Var(v_i)={{\sigma _{v}}^{2}}<\infty$ para que podamos aplicar CLT y decir eso para$n\rightarrow \infty$$v_i\sim N(0,{{\sigma _{v}}^{2}}/n)$ desde$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}v_i=\bar{v}$.