Cómo demostrar que el coste medio está bajando si tenemos IRTS

Question

Utilizando las matemáticas, ¿cómo podría demostrar esto? Puedo demostrar que AC>MC diferenciando AC con respecto a q y asumiendo que AC está cayendo, pero ¿cómo demostrar que está cayendo en primer lugar si tenemos rendimientos crecientes a escala? Gracias

aso sé que IRTS significa f(tz)>tf(z) donde f es la función de producción nos da la máxima cantidad de salida para un conjunto dado de entradas Zi.

Answer 1

Una función de producción $f: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}$ muestra aumento de los rendimientos de la escala si para $\alpha > 1$ :

$$ f(\alpha \mathbf{x}) > \alpha f(\mathbf{x})$$ Esto implica que la derivada direccional de $f$ en $\mathbf{x}$ en dirección a $\mathbf{x}$ es mayor que $f(\mathbf{x})$ . (Dejemos $\alpha = (1+ \epsilon)$ entonces $\frac{f(\mathbf{x} + \epsilon \mathbf{x}) - f(\mathbf{x})}{\epsilon} > f(\mathbf{x})$ entonces toma el límite como $\epsilon \rightarrow 0$ para obtener $\nabla_\mathbf{x} f(\mathbf{x}) > f(\mathbf{x})$ .)

Dado un vector de precios $\mathbf{p}$ la función de coste da el coste mínimo para producir una cantidad $q$ .

$$ c(q) = \min_\mathbf{x} \left\{\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \mid f(\mathbf{x}) \geq q \right\} $$

El Lagrangiano para este problema es $\mathcal{L} = \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} + \lambda (q - f(\mathbf{x}))$ . La condición de primer orden es $\mathbf{p} = \lambda \nabla f(\mathbf{x}^*))$ . Tome el producto punto de ambos lados con $\mathbf{x}^*$ para obtener $ c(q) = \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}^* = \lambda \nabla f(\mathbf{x}^*) \cdot \mathbf{x}^*=\lambda \nabla_{\mathbf{x}^*}f(\mathbf{x}^*)$ .

Nuestro resultado anterior sobre los rendimientos crecientes a escala implica entonces $c(q) > \lambda f(\mathbf{x}^*) = \lambda q$ . Por el teorema de la envolvente, el coste marginal es $\frac{dc}{dq} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} = \lambda$ . Combinando, esto nos da que el coste marginal es menor que el coste medio para una función de producción de rendimiento creciente a escala: $$ \frac{dc}{dq} < \frac{c(q)}{q}$$

Eso implica inmediatamente que el coste medio está disminuyendo en $q$ .

Intuición

Una forma más intuitiva de pensar en esto es que los rendimientos crecientes a escala en la función de producción implican que para $\alpha > 1$ :

$$ c(\alpha q) \leq \alpha c(q)$$

Si la producción $f$ escala más que linealmente en los insumos, el coste de producir una cantidad escala menos que linealmente. Esto se puede demostrar sin ningún tipo de cálculo.

Una vez que tengas eso, divide por $\alpha q$ y se obtiene inmediatamente:

$$ \frac{c(\alpha q)}{\alpha q} \leq \frac{c(q)}{q} \text{ for } \alpha > 1 \text{ and IRTS}$$ Esto demuestra que para una función de producción de rendimientos crecientes a escala, un mayor nivel de producción tiene un coste medio menor.