Relación entre la convexidad y una función de utilidad de tipo complemento perfecto

Question

Piensa en alguien que consume dos bienes y los odia a ambos. Dada la función de utilidad U(x,y)= -max{x,y} 1.¿Cuál sería la forma de la curva de indiferencia? 2.¿Por qué estas preferencias débilmente ¿convexo? 3.¿Qué implica matemáticamente el signo negativo? 4.¿Se convertirá en una función min{x,y}?

Answer 1

En lugar de darte directamente las respuestas, te voy a dar una serie de pistas para que las descubras por ti mismo.

1.¿Cuál sería la forma de la curva de indiferencia?

Consideremos tres paquetes de consumo diferentes: $(3,10)$ , $(10,10)$ y $(10,3)$ . Compruebe que estos tres paquetes producen la misma utilidad para el consumidor. En otras palabras, deberían estar en la misma curva de indiferencia. A continuación, dibuja una curva que pase por los tres puntos. Comprueba que todos los puntos descritos por $(x,10)$ y $(10,y)$ para $x,y\le10$ también debería estar en esta curva de indiferencia.

2.¿Por qué estas preferencias son débilmente convexas?

En primer lugar, recuerde lo que convexidad débil medios. A continuación, compare las utilidades que el individuo obtiene de los siguientes pares de paquetes:

• $A_1=(10,10)$ y $A_2=\alpha(10,3)+(1-\alpha)(3,10)$ para $\alpha\in(0,1)$
• $B_1=(10,10)$ y $B_2=\alpha(10,3)+(1-\alpha)(10,10)$ para $\alpha\in(0,1)$

3.¿Qué implica matemáticamente el signo negativo?

Ha dicho que el consumidor odia ambos bienes. Compara las utilidades de los paquetes $(10,10)$ y $(5,5)$ y ver cuál es más alta (y por tanto más preferida).

4.¿Se convertirá en una función min{x,y}?

Intenta dibujar una curva de indiferencia para $u=\min\{x,y\}$ y comparar con los de la parte 1.

Answer 2

$u(x, y) = -\max(x, y) = \min(-x, -y)$ es una función cóncava. Como es cóncava, también es cuasicóncava (o, lo que es lo mismo, representa preferencias débilmente convexas). Este es el mapa de indiferencia de $u$ :

$u$ no representa la misma preferencia que $v(x, y) =\min(x, y)$ . Este es el mapa de indiferencia de $v$ :