Teoremas de los movimientos brownianos

Question

Sé que si $W$ et $W$ son dos movimientos brownianos independientes, entonces $dWt \ dWt$ = 0. ¿Cómo puedo demostrar este teorema?

Además, ¿cómo podemos demostrar que si $W$ et $W$ son dependientes, entonces $dWt \ dWt = \rho \ dt$ ?

Answer 1

La primera parte parece bastante obvia, ya que la independencia implica que la covarianza es cero y como la correlación es sólo la covarianza dividida por el producto de las desviaciones estándar, también será cero. $$\text{Cov}(W_t,W_t^\prime)=\mathbb E [W_t,W_t^\prime]-\mathbb E [W_t]\mathbb E[W_t^\prime]$$ Por ley de expactación iterada $$\mathbb E [W_t,W_t^\prime]=\mathbb E[\mathbb E[W_tW_t^\prime|W_t^\prime]]=\mathbb E[W_t^\prime\underbrace{\mathbb E[W_t|W_t^\prime]}_{W_t\perp W_t^\prime}]=\mathbb E[W_t^\prime\mathbb E[W_t]]=\mathbb E[W_t]\mathbb E[W_t^\prime]$$ $$\Rightarrow \text{Cov}(W_t,W_t^\prime)=\mathbb E [W_t,W_t^\prime]-\mathbb E [W_t]\mathbb E[W_t^\prime]=\mathbb E [W_t]\mathbb E[W_t^\prime]-\mathbb E [W_t]\mathbb E[W_t^\prime]=0$$ $$\text{Corr}(W_t,W_t^\prime)=\frac{\text{Cov}(W_t,W_t^\prime)}{\sqrt{\text{Var}[W_t]}\sqrt{\text{Var}[W_t^\prime]}}=\frac{0}{t}=0$$ $$\Rightarrow d\langle W_t,W_t^\prime\rangle\underbrace{=}_{\text{by indep.}}d\langle W_t\rangle d\langle W_t^\prime\rangle=0$$

Cuando $W$ et $W^\prime$ son dependientes, se puede reescribir el movimiento browniano como una combinación lineal del otro movimiento browniano y otro movimiento browniano bajo la misma filtración, que es ortogonal al otro, es decir $$dW_t^\prime=\rho dW_t+\sqrt{1-\rho^2}dW_t^\perp, \quad W_t\perp W_t^\perp$$ entonces calcula $d\langle W_t,W_t^\prime\rangle$ .