Para la aproximación lineal cuadrática del modelo RBC, ¿por qué la matriz $P$ de la función de valor $V = F^TPF$ tiene que ser una matriz semidefinida negativa?

Question

En http://www.compmacro.com/makoto/note/note_rbc_lq.pdf página 5, se dice que para la función de valor $V = F^TPF$ (Ecuación de Bellman) $P$ tiene que ser una matriz semidefinida negativa. ¿Por qué tiene que ser semidefinida negativa?

Answer 1

Que P sea semidefinida negativa implicaría que V es una función cóncava. La razón por la que restringirías P para que V fuera una función cóncava es porque algunas de las suposiciones que has hecho sobre el modelo previamente te dicen que V debe ser cóncava.

En general, algunos de los supuestos típicos que implican que la función de valor debe ser cóncava son algo así como lo siguiente

1. el gráfico de la correspondencia de las restricciones es convexo,
2. la función de retorno del período es cóncava,
3. otras suposiciones sobre la función de transición estocástica que tiene la propiedad de Feller y es monótona,
4. etc...

Siento no dar todos los detalles, pero puedes leer más sobre ellos en los capítulos 4 y 9 de "Recursive Methods in Economic Dynamics" de Stokey, Lucas y Prescott. Lo que quiero decir es que los supuestos de este tipo de modelos suelen implicar que la función de valor es cóncava. Por lo tanto, si se comprueban los supuestos y efectivamente restringen la función de valor, entonces se puede restringir la búsqueda para buscar sólo matrices P que sean semidefinidas negativas.