¿Se supone que la letra t en el recuadro rojo $R(t,T)$ debe ser la misma que la S en el recuadro verde $R(S,T)$?
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scottishwildcat
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Sí. El mapa $R(\cdot;S,T):\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ describe completamente la estructura de tasas de interés a plazo/tasa de interés al contado para cada $t\geq0$. (Puedes pensarlo como la superficie de tasas de interés de mercado para la tasa $R$ en el tiempo $t$).
La notación $R(t;S,T)$ pretende recordarte que $R$ es un proceso estocástico para $t>0$, los períodos de tiempo donde la información completa no está disponible (se asume que $t=0$ es hoy, el punto en el que tenemos información completa). Más explícitamente, $R$ depende de $\omega(t)$, donde $\omega(t)\in(\Omega,\mathbb{P},\mathcal{F}_{t})$, un espacio de probabilidad filtrado en el que se basa el modelo estocástico.
Además, el valor de $R$ para un $t\geq0$ fijo depende además del período de tiempo en el que se están midiendo las tasas de interés, y esto se captura en los argumentos $(S,T)$.
Cuando se omite el primer argumento $t, se da a entender el tiempo (usualmente $t=0$ ya que es cuando tiene más sentido discutir la estructura temporal de tasas de interés, ya que tenemos información completa en este punto - cualquier otro momento sería basado en un modelo aleatorio).
Es útil pensar en algunos casos especiales, o mapas, cuando otras variables están fijas.
- Si $S=t$ y ambos están fijos, entonces $T\mapsto R(t;S,T)$ es la tasa al contado en el tiempo $t$ (modelada u observada hoy dependiendo de si $t=0$ o $t>0) para madureces de longitud $T-t$.
- Si $S>t$ y ambos están fijos, entonces $T\mapsto R(t;S,T)$ es la tasa a plazo calculada en el tiempo $t$, comenzando en el tiempo $S$ y durando hasta el tiempo $T$ para un plazo de longitud $T-S$.
- Si $S$ y $T$ están fijos, entonces $t\mapsto R(t;S+t,T+t)$ es el modelo de tasa de interés aleatoria de la tasa al contado ($S=0$) o a plazo ($S>0$) $R$ comenzando en el tiempo $S+t$ y terminando en el tiempo $T+t$ para un plazo de longitud $T-S$.
- Si $t$, $S$ y $T$ están fijos, entonces el mapa auxiliar $\alpha\mapsto R(t;S+\alpha,T+\alpha)$ corresponde a la tasa a plazo de $T-S$ en el tiempo futuro $\alpha$, calculada en el tiempo presente $t$ (nota que "presente" puede no ser hoy si $t>0$, pero $S$ siempre es un tiempo "futuro" con respecto a $t$, es decir, $S\geq t$).
Puedes experimentar más con esto si lo deseas. Ten en cuenta las restricciones obvias del dominio (a menos que desees considerar el historial pasado del proceso, pero para la mayoría de circunstancias establecer $t=0$ como hoy es lo que la mayoría de la gente tiene en mente)
$$0\leq t\leq S
Nota Algunos autores pueden no modificar explícitamente los argumentos $S$ y $T$ de acuerdo a $t\geq0$. Por ejemplo, podrían escribir $R(0;0,T)$ y $R(1;0,T)$, pero significar que el primero es la tasa al contado con vencimiento $T$ en el tiempo $t=0$ y el segundo la tasa al contado con vencimiento $T$ pero en el tiempo $t=1$. En nuestra notación, esto sería una violación del dominio y escribiríamos $R(0;0,T)$ y $R(1;1,T+1)$. Esta es solo una preferencia estilística. Creemos que el primer estilo es más común, pero el estilo que hemos adoptado aquí es más agradable matemáticamente. Sin embargo, la mayoría de autores adaptan su notación para enfatizar lo que se está estudiando (tasas a plazo, tasas al contado, estructura temporal futura modelada de manera aleatoria, etc.) cuando se discuten tasas de interés, por lo que raramente surgen tales problemas.
