Relación de la cópula de Marshall-Olkin de supervivencia y no supervivencia

Question

Tengamos dos variables aleatorias$A$ y$B$ que representan la vida útil de dos elementos de un sistema, donde$A$ tiene cdf$F_A(x)$,$A \sim Exp(\lambda_1 + \lambda_{12})$ y$B$ tiene cdf$F_B(y)$,$B \sim Exp(\lambda_2 + \lambda_{12})$, con cdf conjunto$H(x,y)$.

La cópula de Marshall-Olkin se define como cópula de supervivencia. PS

donde$$\bar{H}(x,y) = C_{\theta_A, \theta_B}(u,v) = \min (u^{1-\theta_A}v, uv^{1-\theta_B})$ $

PS

¿Cuál es la fórmula para la cópula Marshall-Olkin de no supervivencia que tendría$$\theta_A = \frac{\lambda_{12}}{\lambda_1+\lambda_{12}} \text{ and } \theta_B = \frac{\lambda_{12}}{\lambda_2+\lambda_{12}}$ y$$u = \bar{F_A}(x) = 1 - F_A(x) \text{ and }v = \bar{F_B}(y) = 1- F_B(y)$?

Answer 1

Tenga en cuenta que la cópula de supervivencia$C_{\theta_A, \theta_B}(u, v)$ y la cópula de no supervivencia$C(u, v)$ están relacionadas por \begin{align*} C_{\theta_A, \theta_B}(\hat{u}, \hat{v}) = \hat{u}+\hat{v}-1 + C(1-\hat{u}, 1-\hat{v}), \end {align *} donde$\hat{u}=\bar{F}_A(x)=1 - F_A(x)$ y$\hat{v}=\bar{F}_B(y)=1-F_B(y)$. Luego, \begin{align*} C(u, v) = C_{\theta_A, \theta_B}(1-u, 1-v) + u+v-1, \end {align *} donde$u=F_A(x)$ y$v=F_B(y)$.