¿Cómo diferenciar un movimiento browniano?

Question

Por definición, un proceso wiener no se puede diferenciar.

Pero cuando usamos el lema de Ito en %-%-%, donde X es el proceso de wiener

tenemos un cambio total en

$F = X^2$$

¿Cómo podemos calcular %-%-% cuando por definición no se puede diferenciar? ¿No es esta contradicción por definición?

Answer 1

Para aplicar el lema de Ito, su función debe ser una función dos veces diferenciable. No hay ningún problema con la inex diferenciabilidad del proceso de Wiener. %-%-% implica diferenciar F, no el proceso de Wiener X.

Usando una analogía simple: velocidad instantánea (%-%-%) es la derivada de la posición (D) a lo largo del tiempo; lo que se diferencia no es el tiempo, sino la distancia. Creo que aquí es de donde proviene tu confusión.

Answer 2

Escribimos la forma diferencial de la fórmula Ito para la simplificación. En realidad, la forma diferencial de la fórmula Ito $$ dF(W(t)) á 2W(t)dW(t) + dt $$ significa la forma integral para la fórmula Ito, $$ .int-dF??int-2W(t)dW(t)- + .int.d. $$ que tienen sentido en mathemaitcs.

Answer 3

Tienes razón en que un proceso Wiener no puede ser diferenciado de la manera convencional ya que la derivada con respecto al tiempo no existe. Por esta razón Ito lemma debe utilizarse para integrar y diferenciar los procesos brownian o Wiener, ya que estos se consideran procesos ito.