problema de estrategia óptimo (utilizando la desigualdad de Jensen's)

Question

Tengo una estrategia en el modelo Samuelson con tasa segura cero definida como %-%-%$ donde $$Z_t^{\Pi}=\frac{X_t^{\Pi}}{X_t^{\rho}} \quad \quad (1)$$ $$\frac{dX_t^{\Pi}}{X_t^{\Pi}} = \mu \pi dt + \sigma \pi \ dW_t \quad \quad (2)$$

lo que da la siguiente dinámica dinámica $$ \frac{dX_t^{\rho}}{X_t^{\rho}} = \mu \rho dt + \sigma \rho \ dW_t \quad \quad (3)$$

Para demostrar que %-%-% es la estrategia óptima para el %-%-%$

Usando (1), propiedad logarítmica, desigualdad de Jensen y propiedad supermartingale puedo derivar la siguiente desigualdad $$\frac{dZ_t^{\Pi}}{Z_t^{\Pi}} = (\mu -\sigma^2 \rho )(\pi - \rho) dt + \sigma (\pi - \rho)\ dW_t \quad \quad (4)$$

La pregunta que tengo es ¿cómo la desigualdad (5) implica que la estrategia óptima es %-%-%?

Answer 1

Asumo que el problema es %-%-%$ Tenga en cuenta que %-%-%. Además \begin{align} d\ln Z_t^{\Pi} &= d\ln X_t^{\Pi} -d\ln X_t^{\rho}\ &=\Big[\big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big) - \big(\mu \rho- \frac{1}{2}\sigma^2 \rho^2\big) \Big]dt + \sigma(\pi-\rho)dW_t. \end\begin{align} E\left(\ln ZT^{\Pi} \right) = \Big[\big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big) - \big(\mu \rho- \frac{1}{2}\sigma^2 \rho^2\big) \Big]T. \end\begin{align*} \max{\pi}E\left(\ln ZT^{\Pi} \right) &= \max{\pi}\Big[\big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big) - \big(\mu \rho- \frac{1}{2}\sigma^2 \rho^2\big) \Big]T\ &=\max_{\pi}\Big[-\frac{1}{2}\sigma^2\big( \pi - \frac{\mu}{\sigma^2} \big)^2 + \frac{1}{2}\mu^2- \big(\mu \rho- \frac{1}{2}\sigma^2 \rho^2\big) \Big]T, \end\begin{align} d\ln X_t^{\Pi} = \big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big)dt + \sigma \pi dW_t. \end\begin{align} \max_{\pi}E\left(\ln XT^{\Pi} \right) &= \max{\pi}\big(\mu \pi - \frac{1}{2}\sigma^2 \pi^2\big)T\ &=\max_{\pi}\Big[-\frac{1}{2}\sigma^2\big( \pi - \frac{\mu}{\sigma^2} \big)^2 + \frac{1}{2}\mu^2 \Big]T, \end------------------------------------------------------------ Entonces ------------------------------------------------------------------------------------- Por consiguiente ------------------------------------------------------------------------------------- que es un problema de maximización para una función cuadrática de %-%-%. A continuación, está claro que el máximo se alcanza en %-%-%.

Editar

Considere el problema %-%-%. Tenga en cuenta que ------------------------------------------------------------------------------------- Entonces ------------------------------------------------------------------------------------- que es de nuevo un problema de maximización para una función cuadrática de %-%-%, y el máximo se alcanza en %-%-%.