¿Existe alguna aproximación de la opción asiática al estilo americano (con strike igual a la media corrida de 0 a $t$ ) basada en una fórmula analítica de forma cerrada?
Veo que la diferencia de precio entre una opción asiática europea y una asiática americana puede venir dada por alguna forma integral. ¿Hay alguna forma de simplificarlo para que sea más fácil de usar?
No creo que haya ninguna buena aproximación a la opción americana $\max_{\tau}E^P\left[e^{-r \tau}(S_{\tau} - M_{\tau})^+\right]$ donde $M_t = \frac{1}{t}\int_0^t S_u du$ es la media corrida, pero se puede calcular de forma bastante eficiente observando que $$ \max_{\tau}E^P\left[e^{-r \tau}(S_{\tau} - M_{\tau})^+\right] =S_0\max_{\tau}E^P\left[\frac{e^{-r \tau} S_{\tau}}{S_0}(1 - m_{\tau})^+\right] =S_0\max_{\tau}E^{\tilde{P}}\left[(1 - m_{\tau})^+\right] $$ donde $\tilde{P}$ es la medida neutral al riesgo de las acciones definida como $d\tilde{P}/dP=\frac{e^{-r t} S_{t}}{S_0}$ y $m_t=M_t/S_t$ . A partir de la dinámica original del precio de las acciones en $P$ $$ dS_t=r S_t dt + \sigma S_t dW_t $$ con un poco de cálculo de Ito y la aplicación del teorema de Girsanov se obtiene la dinámica estocástica para $m_t$ en $\tilde{P}$ $$ dm_t=\left(\frac{1-m_t}{t} - r m_t \right)dt + \sigma m_t d\tilde{W}_t $$ Te queda computar una opción americana en $m_t$ con la dinámica anterior, utilizando un esquema de diferencias finitas o un método de monte carlo americano.
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