No sé si es posible seleccionar al azar una muestra de manera que el SRF y el PRF no se crucen. He pensado en el concepto de líneas paralelas, que permite ese caso, pero no estoy seguro de que los conceptos de probabilidad y estadística lo permitan.
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Ben
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Es teóricamente posible, pero extremadamente improbable si la muestra aleatoria es grande.
Para ver que es posible, considere el caso muy simple que se muestra a continuación, en el que la población está formada por sólo cuatro puntos en el plano X-Y que resultan estar en las esquinas de un paralelogramo.
Suponiendo líneas de regresión lineales, la función de regresión poblacional (PRF) será la representada por la línea continua. Si una función de regresión muestral (SRF) se ajusta a una muestra de dos puntos y los puntos resultan ser A y B, entonces la función será como la representada por la línea discontinua que es paralela a la PRF.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que, incluso en este caso, la probabilidad de que una muestra aleatoria de dos puntos produzca una SRF paralela a la PRF es sólo de un tercio. Hay seis posibles muestras de este tipo, dos de las cuales (AB,CD) producen SRF paralelos al PRF, y cuatro de las cuales (AC,AD,BC,BD) no lo hacen. En un caso realista, en el que tanto la población como la muestra son mucho más grandes y los puntos no se encuentran en un patrón geométrico tan simple, la probabilidad de que la SRF sea paralela a la PRF será muy pequeña.
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(PRF: función de regresión de la población, SRF: función de regresión de la muestra)
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Bienvenido a la página web. He publicado una respuesta a continuación, pero no sé qué problema económico práctico podría provocar esta pregunta.