Cómo derivar la medida equivalente de martingala usando el Lema de Ito

Question

¿Alguien puede explicar cómo se obtiene la ecuación 27.14 a continuación? Entiendo el primer uso del Lema de Itō para obtener $d(\ln f-\ln g)$, pero no entiendo cómo usar el Lema de Itō para pasar de $d(\ln \frac{f}{g})$ a $d(\frac{f}{g})$. ¿Alguien puede ayudar a elucidar este proceso?

Answer 1

Tienes dos procesos, $X_t:=\log{\frac{f}{g}}$ y $Y_t=\frac{f}{g}$. Nota, uso $\log$ para el logaritmo natural. Por lo tanto, tenemos $Y_t=\exp{(X_t)}$. Por lo tanto, aplicando Itô:

$$dY_t=\exp{(X_t)}dX_t + \frac{1}{2}\exp{(X_t)}d\langle X,X\rangle_t$$

Usando la dinámica de $X_t$, obtenemos

$$dY_t=\frac{f}{g}[-\frac{(\sigma_f-\sigma_g)^2}{2}dt+(\sigma_f-\sigma_g)dz]+\frac{f}{g}\frac{(\sigma_f-\sigma_g)^2}{2}d\langle z, z\rangle_t$$

Creo que $z$ es un Movimiento Browniano, por lo que $d\langle z,z\rangle_t=dt$, lo que produce el resultado deseado. Si $z$ no es un MB, por favor proporcione información adicional.