¿Cómo obtengo el hessiano de esta función y compruebo la concavidad?

Question

La función es $f(K,L)= AK^{a}L^{b}$ en el conjunto de puntos $(K,L)$ con $K\geq 0$ y $L\geq 0$ , suponiendo que $A>0$ ¿Cómo encuentro el hessiano y compruebo la concavidad?

Answer 1

Como dijo @Herr K., el punto de partida es poder tomar una derivada. El hessiano es una matriz equivalente a una derivada de segundo orden que a veces se denota como $\nabla^{2}$ . Empieza por encontrar el gradiente, $\nabla$ que es un vector de derivadas de primer orden de cada variable en la función. En su caso, esto sería
$$ \nabla= \left[ {\begin{array}{cc} \frac{\partial{f}}{\partial{K}} \\ \frac{\partial{f}}{\partial{L}} \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{cc} aAK^{a-1}L^{b} \\ bAK^{a}L^{b-1} \\ \end{array} } \right] $$ El hessiano, sería la siguiente (segunda) derivada de cada una de las anteriores con respecto a ambas variables y tiene la forma: $$ \nabla^{2}= \left[ {\begin{array}{cc} \frac{\partial^{2}f}{\partial{K}^2} & \frac{\partial^{2}f}{\partial{K}\partial{L}} \\ \frac{\partial^{2}f}{\partial{L}\partial{K}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial{L}^2} \\ \end{array} } \right] $$ Utilizando lo que sería en su caso (se lo dejamos a usted para que lo calcule) puede tomar el determinante de la matriz resultante y, con los valores de sus parámetros $a$ y $b$ (o al menos sus signos como con las otras variables y parámetros) se puede determinar si el determinante es positivo o negativo y determinar la concavidad. Si es positiva definida o positiva semidefinida, esto implicaría una convexidad estricta o no estricta, respectivamente. Si no se sabe cómo tomar un determinante, simplemente se hace utilizando una matriz, por ejemplo

$$ A= \left[ {\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \\ \end{array} } \right] $$ y luego tomar su determinante utilizando la operación (sin explicación en aras de la brevedad): $$ A= {\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \\ \end{vmatrix} } = a_{1}a_{4}-a_{2}a_{3} $$ Usando esto con lo anterior, deberías ser capaz de calcular el resto y averiguar si es cóncavo o no. (pista: para $a,b\geq 0$ y $a+b\leq1$ es cóncavo)