Hace $U(x,y) = x^2 + y^2 + 2xy$ representan preferencias transitivas y monótonas?

Question

Soy monitor de un curso de microeconomía y un alumno me planteó esta pregunta. Que esta función de utilidad representa preferencias monótonas creo que está claro. Ambos bienes tienen utilidades marginales positivas y constantes. Lo que creo que está menos claro es si esta relación de preferencia es transitiva. ¿Cómo puedo evaluarla?

Answer 1

Transitividad.

Definición. Si $A \succsim B$ y $B \succsim C$ entonces $A \succsim C$ .

Prueba. Supongamos que $A \succsim B$ y $B \succsim C$ . Entonces por definición de una representación de utilidad, $U(A) \geq U(B)$ y $U(B) \geq U(C)$ . Por la transitividad de $\geq$ tenemos $U(A) \geq U(C)$ . Y así también por definición de una representación de utilidad, $A \succsim C$ para que $\succsim$ es transitivo.

Monotonicidad.

Definición. Si $x_1\geq x_2$ y $y_1\geq y_2$ entonces $\left(x_1,y_1\right)\succsim\left(x_2,y_2\right)$ .

Prueba. Supongamos que $x_1\geq x_2 \left(\geq 0\right)$ y $y_1\geq y_2\left(\geq 0\right)$ . Entonces $$U\left(x_1,y_1\right) = x_1^2 +y_1^2 +2x_1y_1 \geq x_2^2 +y_2^2 +2x_2y_2 = U\left(x_2,y_2\right),$$ por lo que la definición de una representación de utilidad, $\succsim$ es monótona.

Answer 2

Cualquier relación de preferencia representada por una función de utilidad es transitiva.

Supongamos que $x \succsim y$ y $y \succsim z$ y $\succsim$ está representado por $U$ . Entonces $U(x) \geq U(y) $ y $U(y) \geq U(z)$ Así que $U(x) \geq U(z)$ y luego $x \succsim z$ .