¿Cómo calcular la contribución (%) de un activo a la correlación global de la cartera?

Question

Tengo una cartera X con pesos $w_i$ . Estoy tratando de encontrar la contribución $\xi_i$ del activo $i$ a la correlación total $\rho_{XM}$ de la cartera X a un índice M. No encuentro estas contribuciones cuando desarrollo la fórmula de correlación cartera/índice.

Evidentemente, la suma de todas las contribuciones debe ser igual al 100%, pero la suma sobre todos los $i$ de las contribuciones veces la correlación activo/índice $\rho_{iM}$ debe ser igual a la correlación cartera/índice $\rho_{XM}$ .

¿Alguna idea?

Answer 1

Digamos que el índice es

$$X = \sum_{i=1}^n w_iX_i$$

y la varianza es ${\rm Var}(X) = \sigma^2$ entonces obviamente la covarianza del índice consigo mismo es $\sigma^2$ así que

$${\rm Cov}\left(\sum_{i=1}^n w_i X_i, X\right) = \sum_{i=1}^n w_i{\rm Cov}(X_i,X) = \sigma^2$$

La correlación es la covarianza dividida por root cuadrada del producto de las varianzas, así que dividiendo todo por $\sigma^2$ tienes

$$\sum_{i=1}^n w_i \frac{{\rm Cov}(X_i,X)}{\sigma^2} = 1$$

Se puede optar por considerar los componentes de esta suma como la "contribución a la correlación" de cada miembro del índice, es decir

$$\xi_i = \frac{w_i}{\sigma^2}{\rm Cov}(X_i,X)$$

Teniendo en cuenta que la covarianza se puede expresar en términos de la correlación, también se tiene

$$\xi_i = \frac{w_i\sigma_i}{\sigma} {\rm Corr}(X_i, X)$$

y, por último, se puede observar que se trata de $w_i$ veces el coeficiente de regresión de $X_i$ en $X$ comúnmente conocido como la beta, por lo que tiene

$$\xi_i = w_i\beta_i$$

Entonces resulta obvio que el $\xi_i$ debe sumar uno, ya que la beta media de los componentes de un índice debe ser uno.