Digamos que el índice es
$$ X = \sum_{i=1}^n w_iX_i $$
y la varianza es ${\rm Var}(X) = \sigma^2$ entonces obviamente la covarianza del índice consigo mismo es $\sigma^2$ así que
$$ {\rm Cov}\left(\sum_{i=1}^n w_i X_i, X\right) = \sum_{i=1}^n w_i{\rm Cov}(X_i,X) = \sigma^2 $$
La correlación es la covarianza dividida por root cuadrada del producto de las varianzas, así que dividiendo todo por $\sigma^2$ tienes
$$ \sum_{i=1}^n w_i \frac{{\rm Cov}(X_i,X)}{\sigma^2} = 1 $$
Se puede optar por considerar los componentes de esta suma como la "contribución a la correlación" de cada miembro del índice, es decir
$$ \xi_i = \frac{w_i}{\sigma^2}{\rm Cov}(X_i,X) $$
Teniendo en cuenta que la covarianza se puede expresar en términos de la correlación, también se tiene
$$ \xi_i = \frac{w_i\sigma_i}{\sigma} {\rm Corr}(X_i, X) $$
y, por último, se puede observar que se trata de $w_i$ veces el coeficiente de regresión de $X_i$ en $X$ comúnmente conocido como la beta, por lo que tiene
$$ \xi_i = w_i\beta_i $$
Entonces resulta obvio que el $\xi_i$ debe sumar uno, ya que la beta media de los componentes de un índice debe ser uno.
