Creación de una cartera sin riesgo en black scholes

Question

$$\begin{align} d\pi &= \theta dV + dS \\[3pt] & = (\theta \partial V/\partial t + \theta \mu S \partial V/\partial S + \theta S^2 \sigma^2 \partial^2 V/2\partial S^2 +\mu S ) dt + (\theta \sigma S\partial V/\partial t + \sigma S)dw \end{align}$$

Para que la cartera no tenga riesgo, fijan $\theta = -(\partial V/\partial S) ^{-1}$ . Así que esencialmente están vendiendo $1 / \Delta$ acciones de la opción y comprando una acción. ¿Por qué esto hace que la cartera no tenga riesgo?

Answer 1

Tu ecuación debe decir:

$$\begin{align} d\pi & = \theta\frac{\partial V}{\partial t}dt + \theta\frac{\partial V}{\partial S}dS + \frac{1}{2}\theta\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(dS)^2 +dS \\ & = \left(\theta\frac{\partial V}{\partial t} + \theta\frac{\partial V}{\partial S}\mu S + \frac{1}{2}\theta\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\sigma^2S^2+\mu S\right)dt +\left(\theta\color{red}{\frac{\partial V}{\partial S}}\sigma S + \sigma S\right)dw \end{align}$$

El único término estocástico, es decir, arriesgado, en la ecuación anterior es:

$$\left(\theta\frac{\partial V}{\partial S}\sigma S + \sigma S\right)dw$$

donde $w$ es un movimiento browniano. Por lo tanto, estableciendo:

$$\theta=-\frac{1}{\frac{\partial V}{\partial S}}$$

se anulan todos los términos estocásticos y se elimina el riesgo, por lo que la cartera debe rendir el tipo libre de riesgo.

Como nota al margen, obsérvese que la cartera, tal como se define aquí, $\pi = \theta V + S$ avec $\theta=-(\partial V/\partial S)^{-1}$ no se autofinancia en sentido estricto $-$ consulte el comentario de Gordon para más detalles.