Relación entre las medidas de probabilidad neutrales al riesgo y las oportunidades de arbitraje

Question

¿Podría alguien describir cómo las medidas de probabilidad neutrales al riesgo están relacionadas con las oportunidades de arbitraje y también con el hecho de que un mercado esté o no completo? Me han hecho esta pregunta y no estoy seguro de cómo responderla. También me pide que "indique los resultados que utilizo en mi respuesta". No estoy muy seguro de lo que quiere decir esto. Se agradece toda la ayuda.

Answer 1

Vamos a ceñirnos a un mercado discreto para simplificar. Así, en este tipo de modelo se tiene un número finito de estados.

El primer teorema fundamental de la fijación de precios de los activos dice que la ausencia de arbitraje en tales mercados implica la existencia de una medida neutral de riesgo (no necesariamente única) y viceversa.

La razón por la que funciona en la segunda dirección (la existencia de una medida RN garantiza que el mercado está libre de artbitraje) es porque esto hace que todos los precios de los activos evaluados utilizando el activo libre de riesgo sean martingales numéricos bajo esta medida. Intuitivamente, no se puede "jugar" con un proceso de martingala, por lo que se puede demostrar fácilmente suponiendo que existe un arbitraje y mostrando que el proceso no sería entonces una martingala. La otra dirección es más difícil de demostrar.

El segundo teorema fundamental de la fijación de precios de los activos dice que un mercado libre de arbitraje con un activo sin riesgo es completo si y sólo si existe una única medida neutral al riesgo. En otras palabras, los mercados completos libres de arbitraje permiten una y sólo una medida neutral al riesgo - y, a la inversa, si se puede demostrar que una medida es única, se ha establecido que el mercado es completo.

¿Cómo se desarrolla esto? Intuitivamente, si hay suficientes activos diferentes para cada fuente de riesgo a negociar, los precios observados determinan de forma única el cambio de medida. Si recuerdas la derivada de Radon-Nikodym utilizada en el modelo Black-Scholes-Merton, probablemente te habrás dado cuenta de que estás poniendo una especie de precio al riesgo de mercado. En concreto, estás poniendo precio a la parte de difusión del movimiento browniano geométrico que describe el comportamiento del precio del activo de riesgo y este precio resulta ser el ratio de Sharp. ¿Por qué es único? Una fuente de riesgo y un activo negociado que te expone completamente a él.

Ahora, pase a algo como el modelo de Heston (1993). Tienes dos movimientos brownianos estándar imperfectamente correlacionados: uno en la parte de difusión de tu activo de riesgo y otro en la parte de difusión del proceso de volatilidad de ese activo de riesgo. Usted sabe cómo valora la gente el riesgo específico de la renta variable (la parte del primer movimiento browniano que es ortogonal al otro) porque el activo de riesgo se negocia. Lo que no sabes es cómo la gente valora el riesgo específico de la varianza... Para cada precio que pongas aquí, generas una derivada de Radon-Nikodym diferente y, en consecuencia, una medida neutral de riesgo diferente.

Entonces, ¿cómo se consigue un precio único para Heston (1993)? La mayoría de la gente lo olvida, pero Heston (1993) resolvió ese enigma invocando un modelo basado en el consumo. Este modelo tiene un inversor representativo cuyas condiciones de primer orden le dan una elección específica para esas derivadas de Radon-Nikodym. Dicho de otro modo, si se hacen suficientes suposiciones sobre las preferencias y las restricciones individuales, como se haría si se escribiera un modelo de equilibrio completo, se obtendrá una elección única para la derivada de Radon-Nikodym que es válida dentro de ese modelo. Hay una única forma en la que el inversor representativo va a valorar el riesgo dadas las variables de estado. Sin embargo, cuando se trabaja desde el enfoque de la martingala, se intenta ser agnóstico sobre esas cosas (en la medida de lo posible). En otras palabras, en los modelos de equilibrio, las preferencias fijan una medida única; pero cuando se invocan teoremas para fijar el precio de los activos mediante un enfoque de martingala, la razón por la que no se sabe qué hacer es que se intenta ser lo más agnóstico posible sobre las preferencias.

Así, se obtienen soluciones como las de Heston (1993), que dice que un modelo de tipo general daría riesgo al núcleo de fijación de precios que él decidió utilizar, y lo mismo para Duan (1995) en un modelo de fijación de precios de opciones basado en GARCH. O, más recientemente, se puede recurrir a argumentos de forma más reducida como los presentados en Christoffersen, Heston y Jacobs (2013) en modelos de valoración de opciones GARCH. Utilizan un kernel de picado exponencialmente cuadrático porque muchos enfoques empíricos diferentes sugieren que este es generalmente el aspecto de la relación entre las densidades neutrales al riesgo y las físicas.