Estoy buscando una prueba analítica de que la suma de dos variables aleatorias logarítmicas normales no es logarítmica normal. No he podido encontrarla en ningún sitio, ¿alguien sabe dónde encontrarla o sabe cómo hacerlo?
Intenta encontrar un ejemplo para la contradicción. ¿No podemos encontrar uno más fácil? Y la densidad de B se acumula alrededor de 0 - no 1, ¿verdad?
Dejemos que $Z_1$ y $Z_2$ sean variables aleatorias normales. Por lo tanto, $e^{Z_1}$ y $e^{Z_2}$ son variables aleatorias log-normales.
El teorema del límite central dice que la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal aunque sus distribuciones muestrales no estén distribuidas normalmente. Por lo tanto, $Z_1$ + $Z_2$ tenderá a una distribución normal. Sin embargo, $e^{Z_1} + e^{Z_2} \ne e^{Z_1+Z_2}.$
No creo que sea una respuesta válida, aunque llegas a la conclusión correcta. 1) El CLT se aplica en el límite a el número de variables aleatorias se hace grande. Aquí tenemos una suma de dos. 2) En su forma común, requiere variables aleatorias i.i.d. De la pregunta no se deduce claramente que la OP sólo esté interesada en dos log-normales idénticamente distribuidas.
@LocalVolatility, no estoy seguro de estar de acuerdo. Supongamos por contradicción que la suma de dos lognormales es siempre lognormal. Entonces se deduce que la suma de dos lognormales iid es lognormal, y también que la suma de múltiples lognormales iid es lognormal. Esto nos lleva a la contradicción de la CLT.
@dm63, no estoy seguro de estar de acuerdo contigo. Podrías tomar cualquier distribución cerrada bajo convolución y aplicar tu razonamiento para demostrar que en realidad no es una "contradicción" per se. Pondré un ejemplo, la suma de dos variables de Poisson se distribuye en Poisson, esto es un hecho. Entonces ciertamente se deduce que la suma de dos iid Poisson es Poisson, y también que la suma de múltiples iid Poisson es Poisson. Entonces se llega a la contradicción de la CLT. Pues no, porque CLT es un resultado de convergencia.
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¿Está usted de acuerdo en que $\ln (A+B) \ne \ln(A) + \ln(B)$ ? Donde A y B son variables lognormales.
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Intentar encontrar la función característica y ver si coincide con la de una lognormal.
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@Gordon He tenido que comprobarlo yo mismo pero la función característica es muy difícil (no hay forma cerrada es.wikipedia.org/wiki/Distribución log-normal ). Así que la pregunta es válida y creo que la respuesta de noob2 es la más sencilla.
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@Richard: Es este artículo ¿es útil? No lo había revisado cuidadosamente.
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@Gordon gracias ! el articulo es muy interesante pero no tengo el tiempo ahora mismo para intentar el enfoque chf usando la formula en el...
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¿Supongo que quieres que las dos variables sean independientes? También que la varianza sea distinta de cero. (Dos casos en los que la suma ES lognormal son A=B o Var (A)=Var (B)=0).