Me gustaría obtener una solución explícita a %-%-% cuando satisfaga
$X$$
Aquí, %-%-%, y queremos una solución explícita para %-%-%, %-%-%.
No estoy seguro de cómo abordar el problema. ¡Parece más difícil que el movimiento browniano normal!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
OpensaurusRex
Puntos
118
Para resolver el SDE debe utilizar el llamado método de variación de constante. Definir un proceso$Y_t=e^{-\mu t}X_t$, de modo que usando Itô obtenemos:$$dY_t=-\mu Y_t dt+ e^{-\mu t}X_t=e^{-\mu t} \sigma dW_t $ $ Por lo tanto, integrando tenemos:$$Y_T=Y_S+\int_S^T e^{-\mu t} \sigma dW_t=e^{-\mu S} X_S +\sigma \int_S^T e^{-\mu t} dW_t$ $$$\Rightarrow \quad X_T=e^{\mu (T-S)} X_S +\sigma \int_S^T e^{\mu (T-t)} dW_t$ $ Este es un proceso simple de Ornstein Uhlenbeck con reversión media hacia 0 si el coeficiente$\mu$ es negativo. Creo que puede encontrarlo fácilmente en su libro de referencia de cálculo estocástico.
