La solución a la acción browniana aritmética

Question

Me gustaría obtener una solución explícita para $X$ cuando satisface

$$dX_t = \mu X_t dt + \sigma dW_t, X_S = x$$

Aquí, $S > 0$, y queremos una solución explícita para $X_T$, $T > S$.

No estoy seguro de cómo abordar el problema. ¡Parece más difícil que el movimiento browniano regular!

Answer 1

Para resolver la EDE, debes usar el método llamado variación de la constante. Define un proceso $Y_t=e^{-\mu t}X_t$, de modo que usando Itô obtenemos: $$dY_t=-\mu Y_t dt+ e^{-\mu t}X_t=e^{-\mu t} \sigma dW_t $$ Por lo tanto, al integrar, obtenemos: $$Y_T=Y_S+\int_S^T e^{-\mu t} \sigma dW_t=e^{-\mu S} X_S +\sigma \int_S^T e^{-\mu t} dW_t$$ $$\Rightarrow \quad X_T=e^{\mu (T-S)} X_S +\sigma \int_S^T e^{\mu (T-t)} dW_t$$ Este es un simple proceso de Ornstein Uhlenbeck con reversión a la media hacia 0 si el coeficiente $\mu$ es negativo. Creo que puedes encontrarlo fácilmente en tu libro de referencia de Cálculo Estocástico.