¿Puede alguien explicar un resultado relativo a la correlación de los movimientos brownianos?

Question

Dejemos que $B_i(t), B_j(t)$ sean dos movimientos brownianos en un espacio de probabilidad filtrado. Sea { $\theta_1, \theta_2$ } sea una solución a las ecuaciones de riesgo de mercado de los precios y utilizando { $\theta_1, \theta_2$ }, los movimientos brownianos neutrales al riesgo se escriben como $\tilde{B_i}(t), \tilde{B_j}(t)$ . Es fácil demostrar que $$d\tilde{B_i}(t)d \tilde{B_j}(t) = \rho_{ij}(t)$$

Supongamos ahora que $\rho_{ij}(t)$ no es aleatorio, entonces $$dB_i(t){B_j}(t) = B_i(t)dB_i+ B_j(t)dB_i+dB_idB_j = B_i(t)dB_i+ B_j(t)dB_i+ \rho_{ij}(t)dt$$ Así, $E[B_iB_j]=\int_0^{t}\rho_{ij}(u)du$

De la misma manera, $$\tilde{E}[\tilde{B_i}\tilde{B_j}]=\int_0^{t}\rho_{ij}(u)du.$$ Así, $$\tilde{E}[\tilde{B_i}\tilde{B_j}]=E[B_iB_j].$$

Sin embargo, si $\rho_{ij}(t)$ es aleatorio, $$\tilde{E}[\tilde{B_i}\tilde{B_j}]\neq E[B_iB_j].$$ En este caso, ¿cuál de los pasos anteriores no se cumple?

Answer 1

Si $\rho_{i, j}(t)$ es determinista, son efectivamente iguales. Sin embargo, si $\rho_{i, j}(t)$ es aleatorio, entonces \begin{align*} E\left(B_i(t) B_j(t) \right) &= E\left(\int_0^t \rho_{i,j}(u)du \right)\\ &= \int_0^t E(\rho_{i, j}(u)) du, \end{align*} y, del mismo modo, \begin{align*} \tilde{E}\left(\tilde{B}_i(t) \tilde{B}_j(t) \right) &= \int_0^t \tilde{E}(\rho_{i, j}(u)) du. \end{align*} Pueden ser diferentes.