Dejemos que $\Bbb{P}$ denotan la medida física y $\Bbb{Q}$ el de riesgo neutro.
En primer lugar, es importante tener en cuenta que aunque $\Bbb{P}$ existe, pero no es trazable (es la medida bajo la cual observamos las realizaciones de las distintas cantidades del mercado), $\Bbb{Q}$ es una construcción matemática pura que no puede observarse en el mundo real, pero que puede vincularse a $\Bbb{P}$ bajo algunos supuestos.
Estos supuestos son: elegir un modelo de valoración y postular la ausencia de oportunidades de arbitraje (= valoración justa). Sin esto, no hay forma de relacionar las dos medidas.
Esta advertencia puede entenderse mejor si se observa que (utilizando un concepto matemático conocido como cambio de medida) \begin {align} \Bbb {P}[S_T \leq K] &= \Bbb {E}^ \Bbb {P} \left [ \Bbb {1} \left\ { S_T \leq K \right\ } \right ] \\ &= \Bbb {E}^ \Bbb {Q} \left [ \Bbb {1} \left\ { S_T \leq K \right\ } \left. \frac {d \Bbb {P}}{d \Bbb {Q}} \right\vert_ { \mathcal {F}_T} \right ] \end {align} donde la expectativa en el lado derecho es la que se debe calcular bajo la medida neutral de riesgo $\Bbb{Q}$ para terminar en la CDF bajo la medida del mundo real $\Bbb{P}$ .
Ahora bien, aunque la función de densidad de probabilidad de $S_T$ en $\Bbb{Q}$ $$ q(T, S) = \frac{d\Bbb{Q}[S_T < S]}{dS} $$ se puede calcular en un sin modelo de los precios de las opciones vainilla (identidad de Breeden-Litzenberger), la derivada de Radon-Nikodym $$ \left. \frac{d\Bbb{P}}{d\Bbb{Q}} \right\vert_{\mathcal{F}_T} $$ sigue siendo modelo específico . Por lo tanto, sin un modelo, estás atascado.
En realidad, incluso con un modelo, la estimación de los parámetros que aparecen en las derivadas de Radon-Nikodym (precios de mercado del riesgo) puede resultar bastante complicada, si no imposible, véase la discusión aquí .
Algunas personas trabajaron en un método libre de modelos para pasar de $\Bbb{P}$ a $\Bbb{Q}$ minimizando, por ejemplo, la divergencia de Kullback-Leibler (o entropía relativa) entre las dos densidades, con algunas restricciones pertinentes (véase el trabajo de Derman y Zou ) . Sin embargo, en la práctica no me ha funcionado muy bien.
