¿Qué modelos tienen densidades no suaves?

Question

Por suave, me refiero a una densidad $f$ que se encuentra en el espacio $C^\infty$ , infinitamente diferenciable.

¿Existen, en la literatura, algunos modelos conocidos en los que la densidad subyacente del proceso de estado no es suave?

Sólo he podido encontrar un ejemplo de este tipo: el modelo de Varianza Gamma. Me gustaría saber si la gente conoce más ejemplos de este tipo.

Answer 1

Un modelo sencillo sería el modelo exponencial doble de Kou (2002). Es muy similar al modelo de salto-difusión de Merton (1976), pero en lugar de modelar el tamaño del salto mediante una distribución normal, Kou emplea una distribución exponencial doble asimétrica (también conocida como distribución de Laplace).

La densidad correspondiente es $$f_X(x) = p\zeta e^{-\zeta x}\mathbb{1}_{\{x\geq 0\}}+q\eta e^{\eta x}\mathbb{1}_{\{x<0\}},$$ donde $p+q=1$ y $\zeta,\eta>0$ y $p,q\geq0$ .

Esta función no es suave (en el cero) y representa en cierto modo el pegado de dos distribuciones exponenciales. Al igual que la distribución exponencial, la distribución exponencial doble no tiene memoria. El modelo implica una distribución con picos altos y colas pesadas. Kou argumenta (psicológicamente) que los saltos hacia arriba/hacia abajo tienen efectos diferentes en los inversores y por eso opta por pegar dos distribuciones exponenciales. El modelo es bastante manejable, tiene una función característica fácil y permite obtener soluciones de forma cerrada para los precios de muchas derivadas.