ratio sharpe de la regresión

Question

Supongamos que realizo una regresión de los rendimientos de un activo frente a alguna señal. ¿Existe una forma de estimar el ratio de Sharpe de una estrategia basada en esta señal a partir de esta regresión? Suponiendo que la señal es un número real y que el tamaño es proporcional a la señal (es decir, no un tamaño constante de las operaciones).

Answer 1

No, sus resultados dependerán de cómo utilice la señal.

Por ejemplo, ¿se va en largo/corto una cantidad fija en función del signo de la señal? ¿Aumenta el tamaño de sus posiciones cuanto más fuerte es la señal?

Answer 2

El ratio de Sharpe máximo también depende de la matriz de covarianza condicional

Digamos que tienes alguna señal $X$ que le da una función de expectativa condicional $ \mu(X) = \operatorname{E}[R \mid X ] $ .

Quizás sea interesante la cartera con el máximo ratio de Sharpe que se puede construir a partir de un conjunto de $n$ devuelve $R_1, \ldots, R_n$ dada esta señal $X$ . Esa cartera sería la clásica cartera de tangencia. La cartera de tangencia es una función de rendimientos esperados $\mu(X)$ y la matriz de covarianza $ \Sigma(X) = \operatorname{Var}( R \mid X) $ .

En teoría, si su señal le diera diferentes rendimientos esperados para dos activos perfectamente correlacionados, podría construir un arbitraje y obtener un ratio de Sharpe infinito (suponiendo que los rendimientos esperados y las covarianzas sean correctos). La cuestión es que el ratio de Sharpe dependerá de la covarianza de los rendimientos de su cartera.

Punto (obvio) de precaución con la optimización de la media-varianza

Como sin duda sabe, la optimización ingenua de la media-varianza sufre un problema de pesos extravagantes: se tiende a obtener pesos de cartera descabellados. Las estimaciones de los rendimientos esperados, e incluso de la covarianza, tienden a ser muy imprecisas, por lo que se produce un problema de entrada y salida de basura. Cuál es una alternativa o solución sensata es un tema enorme.

Answer 3

Sí, si te sientes cómodo asumiendo que los rendimientos futuros siguen la misma distribución que los históricos. Voy a suponer que tu estrategia es una señal porque has dicho "alguna señal" en lugar de "grupo de señales". También voy a suponer que no vas a actualizar tus coeficientes de regresión una vez que la estrategia sea implementada. También voy a suponer que sus rendimientos y la señal se distribuyen normalmente.

Dejemos que $\hat{R} = a + bS$ donde $a$ y $b$ provienen de la regresión del activo histórico exceso de rendimientos con respecto a las señales históricas ( $r_i=a+bS_i + \epsilon_i$ ), $S$ es el valor de la señal actual, y $\hat{R}$ es el rendimiento esperado del activo dada la señal.

A continuación, dejemos que el rendimiento de la estrategia sea $Y=X(\hat{R})R$ donde X es el tamaño de su posición y $R$ es el rendimiento del activo.

Sabemos por su pregunta que $X(\hat{R})$ es proporcional a la señal. Deduzco que $X(\hat{R}) =c + d\hat{R}$ con $c=0$ . Con cualquier otro $c$ valor, podría ir en largo cuando la rentabilidad esperada del activo es negativa o en corto cuando la rentabilidad esperada del activo es positiva.

$X(\hat{R}) = d\hat{R} = d(a+bS)$

El exceso de rendimiento esperado de la estrategia es $E[XR]=\int E[XR|\hat{R}]P\{\hat{R}\}$ . $\hat{R}$ se distribuye normalmente con la media $\bar{R} = a + b\bar{S}$ y la varianza $b^2\sigma_S^2$ . $R$ dado $\hat{R}$ se distribuye normalmente con la media $\hat{R}$ y la varianza es igual a la varianza no explicada de la regresión.

$E[Y]=E[XR]=\int E[XR|\hat{R}=r]P\{\hat{R}=r\}$

Sustituyendo $X=d\hat{R}$ y recordando que $\hat{R}$ es la expectativa de $R$ después de que se revele la señal:

$\int E[XR|\hat{R}=r]P\{\hat{R}=r\}=d\int \hat{r}^2 P\{\hat{R}=r\}$ .

$d\int \hat{r}^2 P\{\hat{R}=r\}=dE[\hat{R}^2]=d (Var[\hat{R}]+E[\hat{R}]^2)$

$Var[\hat{R}]=b^2Var[S]$

$E[\hat{R}]=a+b\bar{S}$

Rendimiento esperado: $E[Y]=d(b^2Var[S]+(a+b\bar{S})^2)$

La varianza de su estrategia es $Var[Y]=Var[XR]=Var[d\hat{R}R]$

$Var[d\hat{R}R]=d^2(Var[E[\hat{R}R|\hat{R}]] + E[Var[\hat{R}R|\hat{R}]])$

$Var[E[\hat{R}R|\hat{R}]]=Var[\hat{R}^2]$

Sustituir $\hat{R}$ con $\bar{R} + \sigma_R N$ con $N$ distribuido normal(0,1)

$Var[\hat{R}^2]=Var[\bar{R}^2 + 2\bar{R}\sigma_R N + \sigma_R^2 N^2]$ $=(2\bar{R}\sigma_R)^2 + \sigma_R^4Var[N^2]$ $N^2$ es chi cuadrado con 1 grado de libertad -> $Var[N^2] = 2$

$Var[E[\hat{R}R|\hat{R}]]=(2\bar{R}\sigma_R)^2 + 2\sigma_R^4$

$E[Var[\hat{R}R|\hat{R}]]=E[\hat{R}^2 Var[R]]=E[\hat{R}^2 \sigma_R^2]$ $E[\hat{R}^2 \sigma_R^2]=\sigma_R^2 E[\hat{R}^2]$

$\sigma_R^2E[\hat{R}^2]=\sigma_R^2 E[\bar{R}^2 + 2\bar{R}\sigma_R N + \sigma_R^2 N^2]$

$=\sigma_R^2(\bar{R}^2 + 0 + \sigma_R^2)$

$Var[Y]=d^2((4\bar{R}^2\sigma_R^2 + 2\sigma_R^4) + (\sigma_R^2\bar{R}^2 + \sigma_R^4))$

$Var[Y]=d^2\sigma_R^2(5\bar{R}^2 + 3\sigma_R^2)$ $\sigma_Y = d\sigma_R\sqrt{5\bar{R}^2 + 3\sigma_R^2}$

$E[Y]/\sigma_Y = d(b^2Var[S]+(a+b\bar{S})^2) / d\sigma_R\sqrt{5\bar{R}^2 + 3\sigma_R^2}$

$E[Y]/\sigma_Y = (b^2Var[S]+(a+b\bar{S})^2) / ( \sigma_R\sqrt{5\bar{R}^2 + 3\sigma_R^2})$

Es interesante que $d$ se retira en el último paso. Sin embargo, creo que esto sólo es cierto bajo los supuestos restrictivos de que la relación entre el rendimiento esperado del activo y la señal es lineal y que los residuos se distribuyen normalmente.

Un estudio de simulación para comprobarlo puede merecer la pena.

Answer 4

Lo que se busca es el modelo de expectativas condicionales , por lo que los rendimientos esperados son lineales en algunas "características". Es decir $$ E\left[y_i \left| x_i\right.\right] = B x_i, $$ donde $x_i, y_i$ son vectores de características y rendimientos bursátiles, respectivamente, $B$ es una matriz de coeficientes desconocida, y la varianza de $y_i$ toma valor $\Sigma$ independiente del vector $x_i$ . La cartera de Markowitz es entonces proporcional a $$ w = \Sigma^{-1} B x_i. $$ El esperado al cuadrado El ratio de Sharpe depende entonces de la distribución del $x_i$ (que se suponen aleatorios), y es, hasta el escalamiento, la traza de Hotelling-Lawley.

Sin embargo, para un trabajo rápido de hacking, si estás dispuesto a asumir que tu cartera es lineal en las características $x_i$ puede utilizar el truco de aplanamiento donde se realiza una optimización de Markowitz sin restricciones en el producto exterior vectorizado $\operatorname{vec}\left(y_i x_i^{\top}\right)$ como si fuera un vector de rendimientos. A continuación, se puede estimar el Sharpe (al cuadrado) mediante el método de Hotelling $T^2$ . Esto está disponible en el sitio web de R SharpeR a través del paquete [dpqr]sropt funciones.