¿Cómo encontrar las funciones de distribución de transición de estos dos procesos?

Question

¿Cuáles son las funciones de distribución (o densidad) de transición de los procesos definidos por

$dX_t=\mu dt +\sigma dW_t$

y

$dX_t= \theta(\mu-X_t) dt +\sigma dW_t,$

donde $\theta>0$ , $\mu$ es un número real, $\sigma>0$ y $W_t$ es un movimiento browniano estándar.

Sé que es un problema resuelto, pero no encuentro una referencia que presente los pasos detallados de las derivaciones. ¿Podría usted por favor proporcionar algunas buenas referencias? O, ¿podría por favor venir con las derivaciones?

Answer 1

Consideramos la primera, es decir, $X_t = X_s + \mu (t-s) + \sigma (W_t-W_s)$ , para $t>s$ . Entonces, \begin{align*} P(X_t \le y \mid X_s) &= P(X_t-\mu(t-s)-X_s \le y-\mu(t-s)-X_s \mid X_s)\\ &=P(\sigma(W_t-W_s) \le y-\mu(t-s)-X_s\mid X_s)\\ &=\Phi\left(\frac{y-\mu (t-s) -X_s}{\sigma\sqrt{t-s}}\right). \end{align*} Eso es, \begin{align*} P(X_t \le y \mid X_s=x) &=\Phi\left(\frac{y-\mu (t-s) -x}{\sigma\sqrt{t-s}}\right). \end{align*} Aquí, $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar. La función de densidad de transición puede obtenerse posteriormente tomando la derivada con respecto a $y$ .

En cuanto a la segunda, hay que tener en cuenta que, para $t>s$ , \begin{align*} X_t = e^{-\theta(t-s)}X_s + \mu\left(1-e^{-\theta(t-s)} \right)+\sigma\int_s^te^{-\theta(t-v)}dW_v. \end{align*} Entonces, \begin{align*} &\ P(X_t \le y \mid X_s)\\ =&\ P\left(X_t-e^{-\theta(t-s)}X_s - \mu\big(1-e^{-\theta(t-s)} \big) \le y-e^{-\theta(t-s)}X_s - \mu\big(1-e^{-\theta(t-s)} \big) \mid X_s\right)\\ =&\ P\left(\sigma\int_s^te^{-\theta(t-v)}dW_v \le y-e^{-\theta(t-s)}X_s - \mu\big(1-e^{-\theta(t-s)} \big) \mid X_s\right)\\ =&\ \Phi\left(\frac{y-e^{-\theta(t-s)}X_s - \mu\big(1-e^{-\theta(t-s)} \big)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{2\theta}\big(1-e^{-2\theta(t-s)} \big)}} \right). \end{align*} Eso es, \begin{align*} P(X_t \le y \mid X_s=x) &=\Phi\left(\frac{y-e^{-\theta(t-s)}x - \mu\big(1-e^{-\theta(t-s)} \big)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{2\theta}\big(1-e^{-2\theta(t-s)} \big)}} \right). \end{align*}