La función de utilidad es $U = X^aY^b$ .
Se trata de una función Cobb-Douglas, y existen datos para $X$ y $Y$ .
Me gustaría saber cómo estimar $a$ y $b$ .
Como mencionó @ts_highbury anteriormente se puede tomar el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación Cobb-Douglas $$\ln(U) =a\ln(X)+b\ln(Y)$$ Después de eso, "obviamente" se puede notar que la ecuación se convirtió en lineal en los parámetros (es decir, la ecuación lineal), por lo que puede utilizar varios tipos de métodos de estimación, pero el más famoso y fácil es el método de mínimos cuadrados.
P.D.: ten cuidado al interpretar los resultados después de tomar el logaritmo natural o puedes simplemente tomar la exponenciación en ambos lados de la ecuación lineal Cobb-Douglas (después de tomar el logaritmo natural) y tendrás la forma original de la ecuación Cobb-Douglas.
Muchas gracias por su respuesta. Si hay datos para U, como la función de producción Cobb-Douglas, entonces podemos utilizar el logaritmo natural para estimar a y b. Pero en este caso, no hay datos para U. Además, me gustaría saber cómo obtener los valores positivos para a y b. A veces, a o b muestran los valores negativos.
Los coeficientes a y b del modelo representan la tasa de cambio de la variable de salida U en función de los cambios en las variables de entrada X e Y respectivamente, para estimar estos coeficientes necesitas los datos de U o al menos los datos estimados de U.
Ahora, con respecto a obtener valores positivos para a y b se puede utilizar un mínimo cuadrado restringido que puede ser resuelto por un problema de optimización convexa (programación cuadrática) llamado mínimos cuadrados no negativos, este método sólo permite que los coeficientes sean positivos y se puede hacer fácilmente usando el paquete R (nnls) o Matlab (lsqnonneg).. espero que esto te ayude
En ese caso, yo buscaría el análisis de componentes principales y/o los modelos de factores dinámicos.
Muchas gracias por sus comentarios. Me gustaría ampliar este problema con algún ejemplo concreto. Sea U = (1/a)*(CMGS^bEQ^c)^a, U=función de utilidad, C = consumo, MGS = bienes extranjeros importados, EQ = Calidad ambiental, y a, b, c = parámetros. b,c>0; -infinito<a<1; a(b+c)<1; a(1+b+c)<1. En este caso, me gustaría saber cómo estimar los valores de los parámetros (a, b y c). Si tienes alguna idea, por favor, házmelo saber. Muchas gracias de antemano.
Los parámetros pueden identificarse a partir de la función de demanda que resulta del problema de maximización de la utilidad. Supongamos que la restricción presupuestaria es:
$$M = P_XX + P_YY$$
donde $M$ es la cantidad de dinero que tiene el consumidor y $P_X, P_Y$ son los precios de los bienes X e Y. Entonces, el problema del consumidor puede plantearse como:
$$\max X^\alpha Y^\beta\\ s.t.\\ M = P_XX + P_YY$$
El langrangiano para este problema es:
$$\mathcal{L} = X^\alpha Y^\beta + \lambda (M - P_XX - P_YY)$$
Las condiciones de primer orden son:
$$ \mathcal{L}_X = \alpha X^{\alpha-1} Y^\beta - \lambda P_X\\ \mathcal{L}_Y = X^{\alpha} \beta Y^{\beta-1} - \lambda P_Y\\ \mathcal{L}_\lambda = M - P_XX - P_YY $$
Poniendo cada uno de ellos a cero y luego tomando el cociente de $\mathcal{L}_X$ a $\mathcal{L}_Y$ obtenemos:
$$ \frac{\alpha Y}{\beta X} = \frac{P_X}{P_Y}\\ Y = \frac{\beta P_X }{\alpha P_Y}X $$
Si volvemos a introducir estos datos en la restricción presupuestaria, obtenemos la función de demanda de $X$ que denotaré como $X^*$
$$ M = P_XX^* + P_Y(\frac{\beta P_X }{\alpha P_Y}X)\\ M = X^*P_X(1 + \frac{\beta}{\alpha})\\ M = X^*P_X(\frac{\alpha+\beta}{\alpha})\\ \frac{M}{P_X (\frac{\alpha+\beta}{\alpha})} = X^*\\ X^* = \frac{\alpha M}{P_X (\alpha+\beta)} $$
Del mismo modo, la función de demanda de Y viene dada por: $Y^* = \frac{\beta M}{P_Y (\alpha+\beta)}$ .
Por último, para responder a su pregunta, podemos estimar $\alpha$ y $\beta$ dados los datos sobre: cantidades, ingresos ( $M$ ), y los precios. Una forma de hacerlo más fácil es restringir $\alpha+\beta = 1$ . En ese caso, los parámetros son simplemente iguales a la cuota presupuestaria del bien respectivo en la renta:
$$ \alpha = \frac{X^*P_X}{M}\\ \beta = \frac{Y^*P_Y}{M} $$
Tenga en cuenta que esta restricción no es necesaria. Te dejo el otro caso, pero básicamente, tendrás el mismo número de incógnitas que de ecuaciones para que estén exactamente identificadas.
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¿Qué tipo de datos tiene exactamente? Si digo que me he comido dos manzanas y una naranja no tienes ni idea de mi utilidad. Sin embargo, se trata de datos para X e Y.
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No hay datos para U y a y b deben ser positivos. Si hay datos para U, entonces puedo usar el logaritmo natural. Pero en este caso, a o b podría ser un valor negativo. Me gustaría saber cómo estimar los valores positivos de a y b sin datos para U.
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Además de las preferencias estables, hay que saber $P_X$ y $P_Y$ para estimar estos parámetros. Estas preferencias implican una cuota de gasto constante de X e Y y se puede resolver para $a$ y $b$ utilizando esas cuotas de gasto, pero sólo si se conocen las cantidades y los precios de los bienes consumidos.
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Muchas gracias por sus comentarios. U = (1/a)*(C MGS^b EQ^c)^a